Questão 2: Resolva utilizando fator integrante:
\frac{d y}{d x}+y=x, \quad y(0)=4

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e pede para resolver usando fator integrante. Informações fornecidas:
  • Equação diferencial: \dfrac{d y}{d x}+y=x.
  • Condição inicial: y(0)=4.
    O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação e a condição inicial.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x).
Comparando com a equação dada, identificamos:
P(x)=1,\qquad Q(x)=x.
Explicação curta do que isso significa: P(x) é a função que multiplica y e Q(x) é o termo do lado direito que depende de x.

Passo 3

Definir o fator integrante \mu(x). A fórmula do fator integrante para a equação padrão é
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Aqui P(x)=1, então
\mu(x)=\exp\!\Big(\int 1\,dx\Big)=\exp(x)=e^{x}.
Propriedade útil: \dfrac{d\mu}{dx}=P(x)\mu(x). Para este caso \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.

Passo 4

Multiplicar toda a equação original por \mu(x)=e^{x}:
e^{x}\frac{d y}{d x}+e^{x}y= x e^{x}.
Agora observar que o lado esquerdo é a derivada do produto \mu(x)y:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=e^{x}\frac{d y}{d x}+ \frac{d}{dx}(e^{x})\;y= e^{x}\frac{d y}{d x}+ e^{x}y.
Portanto podemos escrever
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)= x e^{x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
e^{x}y=\int x e^{x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora calculamos \int x e^{x}\,dx por integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolher u=x e dv=e^{x}dx. Então du=dx e v=e^{x}. Aplicando:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C.
Assim
e^{x}y = e^{x}(x-1) + C.

Passo 6

Isolar y dividindo por e^{x}:
y = x - 1 + C e^{-x}.
Aqui C é a constante ainda a determinar pela condição inicial.

Passo 7

Usar a condição inicial y(0)=4 para achar C. Substituindo x=0:
y(0)=0-1+ C e^{0}= -1 + C = 4.
Portanto C=5. Logo a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x)=x-1+5e^{-x}.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas dá segurança): calcular \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=1 - 5 e^{-x}.
Somando com y:
\frac{dy}{dx}+y = (1-5e^{-x}) + (x-1+5e^{-x}) = x,
o que confirma que a solução está correta.

Resposta

y(x)=x-1+5e^{-x}

Exercícios relacionados