Questão 2: Resolva utilizando fator integrante:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e pede para resolver usando fator integrante. Informações fornecidas:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
O objetivo é encontrar a funçãoque satisfaz a equação e a condição inicial.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Comparando com a equação dada, identificamos:
Explicação curta do que isso significa:
é a função que multiplica
e
é o termo do lado direito que depende de
.
Passo 3
Definir o fator integrante
. A fórmula do fator integrante para a equação padrão é
Aqui
, então
Propriedade útil:
. Para este caso
.
Passo 4
Multiplicar toda a equação original por
:
Agora observar que o lado esquerdo é a derivada do produto
:
Portanto podemos escrever
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora calculamos
por integração por partes. A fórmula de integração por partes é
Escolher
e
. Então
e
. Aplicando:
Assim
Passo 6
Isolar
dividindo por
:
Aqui
é a constante ainda a determinar pela condição inicial.
Passo 7
Usar a condição inicial
para achar
. Substituindo
:
Portanto
. Logo a solução que satisfaz a condição inicial é
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas dá segurança): calcular
:
Somando com
:
o que confirma que a solução está correta.