Questão 3 (3 pontos)

Considere G=Z_{9} um grupo e H=\{\overline{0}, \overline{3}, \overline{6}\} um subconjunto de G. Verifique que H é um subgrupo de G e além do mais, H é cíclico.

Passo 1

O enunciado dá o grupo aditivo
\,G = \mathbb{Z}_{9},
isto é, o conjunto dos restos módulo 9 com a operação “adição módulo 9”, e o subconjunto
\,H = \{\overline{0},\,\overline{3},\,\overline{6}\}.
Queremos mostrar que H é um subgrupo de G e, além disso, que H é cíclico. Para isso, usaremos o critério de subgrupo em grupos finitos (fechamento e inversos) e a definição de grupo cíclico.

Passo 2

Verificação de que H é subgrupo de G:
  1. H não é vazio e contém a identidade de G, pois
    \overline{0}\in H.
  2. Fechamento: sejam \overline{a},\overline{b}\in H. Então a e b são congruentes a 0, 3 ou 6 módulo 9, logo
\overline{a} + \overline{b} = \overline{a+b}
é também múltiplo de 3 módulo 9, portanto \overline{a+b}\in H.
3. Inversos: para cada \overline{a}\in H, escreva a=3k com k\in\{0,1,2\}. Então
-(\overline{a}) = \overline{-a} = \overline{3(-k)}
é novamente múltiplo de 3 módulo 9, ou seja, está em H.
Logo, H satisfaz fechamento, contém identidade e inversos, portanto é subgrupo de G.

Passo 3

Mostramos agora que H é cíclico, exibindo um gerador. Considere o elemento
\overline{3}\in H. Seus múltiplos em \mathbb{Z}_{9} são
\langle \overline{3}\rangle = \{\;n\cdot\overline{3}\mid n\in\mathbb{Z}\} = \{\overline{0},\overline{3},\overline{6}\} = H.
Portanto, H é gerado por \overline{3} e assim é um grupo cíclico de ordem 3.

Resposta

H é subgrupo de G e H é cíclico, pois
H = \langle \overline{3}\rangle = \{\overline{0},\overline{3},\overline{6}\}.

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