Considere G=Z_{9} um grupo e H=\{\overline{0}, \overline{3}, \overline{6}\} um subconjunto de G. Verifique que H é um subgrupo de G e além do mais, H é cíclico.
Passo 1
O enunciado dá o grupo aditivo \,G = \mathbb{Z}_{9},
isto é, o conjunto dos restos módulo 9 com a operação “adição módulo 9”, e o subconjunto \,H = \{\overline{0},\,\overline{3},\,\overline{6}\}.
Queremos mostrar que H é um subgrupo de G e, além disso, que H é cíclico. Para isso, usaremos o critério de subgrupo em grupos finitos (fechamento e inversos) e a definição de grupo cíclico.
Passo 2
Verificação de que H é subgrupo de G:
H não é vazio e contém a identidade de G, pois \overline{0}\in H.
Fechamento: sejam \overline{a},\overline{b}\in H. Então a e b são congruentes a 0, 3 ou 6 módulo 9, logo
\overline{a} + \overline{b} = \overline{a+b}
é também múltiplo de 3 módulo 9, portanto \overline{a+b}\in H.
3. Inversos: para cada \overline{a}\in H, escreva a=3k com k\in\{0,1,2\}. Então