Questão 1 (4 pontos)
Mostre que
é um grupo Abeliano, onde a operação é definida por
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é um grupo abeliano, onde a operação binária é definida por
Para isso, precisamos verificar as quatro propriedades de grupo (fechamento, associatividade, identidade e inversos) e ainda a comutatividade.
Passo 2
Verificamos fechamento e associatividade:
-
Fechamento: para quaisquer
, temos . Logo, . -
Associatividade: para quaisquer
,
Como ambos dão
, a operação é associativa.
Passo 3
Procuramos o elemento neutro
tal que, para todo
,
Isto é,
Verificamos também
. Portanto,
é o neutro de
.
Passo 4
Para cada
buscamos o inverso
tal que
Isto é,
De fato,
e analogamente
. Logo, todo elemento tem inverso em
.
Passo 5
Verificamos a comutatividade: para quaisquer
,
Resposta
Concluímos que
satisfaz fechamento, associatividade, existência de elemento neutro
, existência de inversos e é comutativo. Portanto,
é um grupo abeliano.