Questão 1 (4 pontos)

Mostre que G=(\mathbb{Z}, \oplus) é um grupo Abeliano, onde a operação é definida por x \oplus y=x+y+4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que G=(\mathbb{Z}, \oplus) é um grupo abeliano, onde a operação binária é definida por
x \oplus y = x + y + 4.
Para isso, precisamos verificar as quatro propriedades de grupo (fechamento, associatividade, identidade e inversos) e ainda a comutatividade.

Passo 2

Verificamos fechamento e associatividade:
  1. Fechamento: para quaisquer x,y\in\mathbb{Z}, temos x+y+4\in\mathbb{Z}. Logo, x\oplus y\in\mathbb{Z}.
  2. Associatividade: para quaisquer x,y,z\in\mathbb{Z},
(x\oplus y)\oplus z = (x+y+4)\oplus z = (x+y+4)+z+4 = x+y+z+8,
x\oplus(y\oplus z) = x\oplus(y+z+4) = x+(y+z+4)+4 = x+y+z+8.
Como ambos dão x+y+z+8, a operação é associativa.

Passo 3

Procuramos o elemento neutro e\in\mathbb{Z} tal que, para todo x\in\mathbb{Z},
x\oplus e = x.
Isto é,
x + e + 4 = x \quad\Longrightarrow\quad e + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad e = -4.
Verificamos também e\oplus x = -4 + x + 4 = x. Portanto, -4 é o neutro de \oplus.

Passo 4

Para cada x\in\mathbb{Z} buscamos o inverso x' tal que
x\oplus x' = -4.
Isto é,
x + x' + 4 = -4 \quad\Longrightarrow\quad x' = -8 - x.
De fato, (x\oplus x') = -4 e analogamente (x'\oplus x) = -8 - x + x + 4 = -4. Logo, todo elemento tem inverso em \mathbb{Z}.

Passo 5

Verificamos a comutatividade: para quaisquer x,y\in\mathbb{Z},
x\oplus y = x + y + 4 = y + x + 4 = y\oplus x.

Resposta

Concluímos que (\mathbb{Z},\oplus) satisfaz fechamento, associatividade, existência de elemento neutro -4, existência de inversos e é comutativo. Portanto, G é um grupo abeliano.

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