Questão 2 (3 pontos)

Sabendo que o conjunto \mathbf{Z}_{m}^{*}=\{\overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \ldots, \overline{m-1}\}, podemos afirmar que \mathbf{Z}_{6}^{*} munido da operação usual de multiplicação módulo 6 é um grupo? E o conjunto Z_{5}^{*} com a mesma operação de multiplicação módulo 5?

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto
\mathbf{Z}_{6}^{*}=\{\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5}\}
com a operação “multiplicação módulo 6” forma um grupo, e o mesmo para
\mathbf{Z}_{5}^{*}=\{\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}\}
com multiplicação módulo 5.
Conteúdo: teoria de grupos, em particular os axiomas de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos).

Passo 2

Verificamos o fechamento em \mathbf{Z}_{6}^{*}. Tomemos, por exemplo,
\overline{2}\times\overline{3}=\overline{6}=\overline{0} em \mathbb{Z}_{6}.
Como \overline{0}\notin\mathbf{Z}_{6}^{*}, falta fechamento, logo \mathbf{Z}_{6}^{*} não é grupo.

Passo 3

Não precisamos checar os outros axiomas (associatividade, neutro, inversos) para \mathbf{Z}_{6}^{*}, pois já falha em fechamento.

Passo 4

Agora em \mathbf{Z}_{5}^{*} com multiplicação módulo 5 todos os elementos \overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4} são coprimos com 5, então:
  1. Fechamento: produto de duas classes não-nulas módulo 5 nunca dá \overline{0}.
  2. Associatividade: herdada da multiplicação em \mathbb{Z}.
  3. Neutro: \overline{1}\in\mathbf{Z}_{5}^{*}.
  4. Inversos: cada \overline{a} tem inverso módulo 5 pois \gcd(a,5)=1.
    Portanto \mathbf{Z}_{5}^{*} satisfaz todos os axiomas de grupo.

Resposta

\mathbf{Z}_{6}^{*} com multiplicação módulo 6 não é grupo.
\mathbf{Z}_{5}^{*} com multiplicação módulo 5 é grupo.

Exercícios relacionados