Nos exercícios de 11 a 31, calcular as integrais indefinidas.
\int \frac{\ln x}{x \ln x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\ln x}{x\,\ln x^{2}}\,dx.
O conteúdo envolvido é a simplificação de expressões logarítmicas e a integração básica de 1/x.

Passo 2

Usamos a propriedade do logaritmo
\ln x^{2} = 2\,\ln x.
Substituindo na integral, o integrando vira
\frac{\ln x}{x\,\ln x^{2}} = \frac{\ln x}{x\,(2\,\ln x)} = \frac{1}{2x}.

Passo 3

Agora basta integrar
\int \frac{1}{2x}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl|x\bigr| + C.
Como normalmente consideramos x>0 no contexto de \ln x, podemos escrever \ln|x|=\ln x.

Resposta

\frac{1}{2}\ln x + C

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