Questão 2 ( 0,6 pontos): Um recipiente a 300 K contém
a uma pressão de uma atmosfera (1atm
). Nesta temperatura, as moléculas de
obedecem à distribuiçio de Boltzmann. Até que temperatura devemos resfriar o gàs para que os efeitos quånticos se tomem importantes e o uso da equação de Boltzmann nåo seja mais uma boa aproximação? (Sugestāo: Iguale o comprimento. de onda de de Broglie das moléculas para uma dada energia com ą distância média entre as moléculas, usando a lei dos gases ideais para calcular a densidade.) 23
Passo 1
O enunciado pede: “Até que temperatura devemos resfriar o gás para que os efeitos quânticos se tornem importantes e o uso da equação de Boltzmann não seja mais uma boa aproximação?”
Informações fornecidas e relevantes (peguei estes dados do enunciado):
Informações fornecidas e relevantes (peguei estes dados do enunciado):
- Temperatura inicial:
(apenas referência, não é o objetivo final). - Gás:
com massa fornecida . - Pressão:
. - Sugestão do enunciado: igualar o comprimento de onda de de Broglie das moléculas (para a energia térmica típica) com a distância média entre moléculas; usar a lei dos gases ideais para obter a densidade.
O objetivo matemático: achar a temperatura
(em kelvin) na qual as propriedades quânticas começam a importar, usando as informações acima.
Passo 2
Explicar o critério físico e a fórmula que vamos usar (aula rápida e intuitiva).
- Intuição: os efeitos quânticos quânticos entre partículas gasosas começam a ser importantes quando a “tamanho” da onda associada a cada partícula (comprimento de onda térmico de de Broglie) fica da ordem ou maior que a distância média entre partículas. Se a onda de cada partícula “toca” a das outras, a estatística quântica (Bose ou Fermi) passa a ser necessária; se as ondas são muito menores, a estatística clássica de Boltzmann vale bem.
- Critério quantitativo padrão: a condição de degenerescência quântica é aproximadamente
onde
é a densidade numérica (número de partículas por volume) e
é o comprimento de onda térmico (thermal de Broglie wavelength). Esse critério significa que há, em média, uma partícula por volume
.
- Definição do comprimento de onda térmico usado aqui (forma padrão em física estatística):
onde:
-
é a constante de Planck ( ), -
é a massa da partícula (aqui, valor dado ), -
é a constante de Boltzmann ( ), -
é a temperatura em kelvin.
Essa forma com o fator
aparece quando se trata da definição do comprimento de onda térmico usado no critério
, que é o procedimento mais comum para estimar a temperatura de início de efeitos quânticos.
Passo 3
Relacionar a densidade
com a pressão usando a lei dos gases ideais e montar a equação de condição quântica.
- Lei dos gases ideais para número de partículas por volume:
- Substituindo
e no critério , obtemos:
Agora vamos rearranjar essa equação para resolver
.
Passo 4
Algebra para isolar
. Começando da equação do passo anterior:
Juntando os fatores de
no denominador:
Escrevendo o lado direito em termos de potências de
:
Portanto
Isolando
:
Esta é a fórmula explícita que vamos calcular numericamente. Observação explicativa: a potência
surge porque um fator
aparece do
e mais um fator
aparece do denominador do
; multiplicando dá
.
Passo 5
Substituir os valores numéricos (usando os dados do enunciado) e calcular passo a passo. Valores constantes usados (em notação científica):
Calcular primeiro o numerador
:
Calcular o denominador
:
Primeiro
Primeiro
E
Multiplicando:
Agora a razão:
Finalmente:
Calcular
: usando logaritmo ou calculadora mental aproximada,
Passo 6
Interpretação física e comentários práticos (aula-resumo curta e motivadora).
- Resultado: é necessário resfriar o gás a algumas kelvin para que os efeitos quânticos comecem a ser importantes à pressão de
. Ou seja, à temperatura ambiente ( ) a aproximação clássica de Boltzmann é perfeitamente válida para a 1 atm. - Observação sobre a massa: usei explicitamente o valor de
fornecido no enunciado ( ). Se em vez disso fosse usada a massa real da molécula (aproximadamente ), a temperatura crítica cairia (escala com ), ficando ainda menor (da ordem de ). Isso só enfatiza que o valor obtido está na faixa de poucos kelvin. - Regra prática que vale decorar para provas: a condição de início de efeitos quânticos é
com . Montando com chega-se a uma equação do tipo , que pode ser resolvida como fizemos.