Questão 2 ( 0,6 pontos): Um recipiente a 300 K contém \mathrm{H2}(\mathrm{~m}=1,67 \times 10-27 \mathrm{Kg}) a uma pressão de uma atmosfera (1atm =101.325 \mathrm{~Pa} ). Nesta temperatura, as moléculas de \mathrm{H}_{2} obedecem à distribuiçio de Boltzmann. Até que temperatura devemos resfriar o gàs para que os efeitos quånticos se tomem importantes e o uso da equação de Boltzmann nåo seja mais uma boa aproximação? (Sugestāo: Iguale o comprimento. de onda de de Broglie das moléculas para uma dada energia com ą distância média entre as moléculas, usando a lei dos gases ideais para calcular a densidade.) 23

Passo 1

O enunciado pede: “Até que temperatura devemos resfriar o gás para que os efeitos quânticos se tornem importantes e o uso da equação de Boltzmann não seja mais uma boa aproximação?”
Informações fornecidas e relevantes (peguei estes dados do enunciado):
  • Temperatura inicial: \,300\\ \text{K} (apenas referência, não é o objetivo final).
  • Gás: \mathrm{H}_2 com massa fornecida \,m = 1{,}67\times10^{-27}\\ \text{kg}.
  • Pressão: \,P = 1\\ \text{atm} = 101\,325\\ \text{Pa}.
  • Sugestão do enunciado: igualar o comprimento de onda de de Broglie das moléculas (para a energia térmica típica) com a distância média entre moléculas; usar a lei dos gases ideais para obter a densidade.
O objetivo matemático: achar a temperatura \,T (em kelvin) na qual as propriedades quânticas começam a importar, usando as informações acima.

Passo 2

Explicar o critério físico e a fórmula que vamos usar (aula rápida e intuitiva).
  • Intuição: os efeitos quânticos quânticos entre partículas gasosas começam a ser importantes quando a “tamanho” da onda associada a cada partícula (comprimento de onda térmico de de Broglie) fica da ordem ou maior que a distância média entre partículas. Se a onda de cada partícula “toca” a das outras, a estatística quântica (Bose ou Fermi) passa a ser necessária; se as ondas são muito menores, a estatística clássica de Boltzmann vale bem.
  • Critério quantitativo padrão: a condição de degenerescência quântica é aproximadamente
n \,\lambda_{\text{th}}^{3} \sim 1,
onde n é a densidade numérica (número de partículas por volume) e \lambda_{\text{th}} é o comprimento de onda térmico (thermal de Broglie wavelength). Esse critério significa que há, em média, uma partícula por volume \lambda_{\text{th}}^{3}.
  • Definição do comprimento de onda térmico usado aqui (forma padrão em física estatística):
\lambda_{\text{th}} = \frac{h}{\sqrt{2\pi m k_B T}},
onde:
  • h é a constante de Planck ( h = 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \text{J\,s}),
  • m é a massa da partícula (aqui, valor dado \,m = 1{,}67\times10^{-27}\\ \text{kg}),
  • k_B é a constante de Boltzmann ( k_B = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \text{J/K}),
  • T é a temperatura em kelvin.
Essa forma com o fator \sqrt{2\pi} aparece quando se trata da definição do comprimento de onda térmico usado no critério n\lambda_{\text{th}}^3\sim1, que é o procedimento mais comum para estimar a temperatura de início de efeitos quânticos.

Passo 3

Relacionar a densidade n com a pressão usando a lei dos gases ideais e montar a equação de condição quântica.
  • Lei dos gases ideais para número de partículas por volume:
n = \frac{P}{k_B T}.
  • Substituindo \lambda_{\text{th}} e n no critério n\lambda_{\text{th}}^{3}=1, obtemos:
\frac{P}{k_B T}\left(\frac{h}{\sqrt{2\pi m k_B T}}\right)^{3}=1.
Agora vamos rearranjar essa equação para resolver T.

Passo 4

Algebra para isolar T. Começando da equação do passo anterior:
\frac{P}{k_B T}\cdot\frac{h^{3}}{(2\pi m k_B T)^{3/2}}=1.
Juntando os fatores de T no denominador:
P\,h^{3} = (k_B T)\,(2\pi m k_B T)^{3/2}.
Escrevendo o lado direito em termos de potências de T:
P\,h^{3} = (2\pi m)^{3/2}\,k_B^{5/2}\,T^{5/2}.
Portanto
T^{5/2} = \frac{P\,h^{3}}{(2\pi m)^{3/2}\,k_B^{5/2}}.
Isolando T:
T = \left(\frac{P\,h^{3}}{(2\pi m)^{3/2}\,k_B^{5/2}}\right)^{2/5}.
Esta é a fórmula explícita que vamos calcular numericamente. Observação explicativa: a potência 5/2 surge porque um fator T aparece do n=P/(k_B T) e mais um fator (k_B T)^{3/2} aparece do denominador do \lambda_{\text{th}}^{3}; multiplicando dá T^{5/2}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos (usando os dados do enunciado) e calcular passo a passo. Valores constantes usados (em notação científica):
\begin{aligned} &h = 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \text{J\,s},\\\ &k_B = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \text{J/K},\\\ &P = 101\,325\\ \text{Pa},\\\ &m = 1{,}67\times10^{-27}\\ \text{kg}\quad(\text{valor fornecido no enunciado}). \end{aligned}
Calcular primeiro o numerador P\,h^{3}:
h^{3}\approx (6{,}626\times10^{-34})^{3}\approx 2{,}91\times10^{-100}\\ \text{J}^{3}\,\text{s}^{3},
P\,h^{3}\approx 101\,325\times 2{,}91\times10^{-100}\approx 2{,}95\times10^{-95}.
Calcular o denominador (2\pi m)^{3/2}\,k_B^{5/2}:
Primeiro
2\pi m \approx 2\pi\times 1{,}67\times10^{-27}\approx 1{,}05\times10^{-26},
(2\pi m)^{3/2}\approx (1{,}05\times10^{-26})^{3/2}\approx 1{,}08\times10^{-39}.
E
k_B^{5/2} \approx (1{,}380649\times10^{-23})^{5/2}\approx 7{,}09\times10^{-58}.
Multiplicando:
(2\pi m)^{3/2}\,k_B^{5/2}\approx 1{,}08\times10^{-39}\times 7{,}09\times10^{-58}\approx 7{,}62\times10^{-97}.
Agora a razão:
T^{5/2} = \frac{P\,h^{3}}{(2\pi m)^{3/2}\,k_B^{5/2}} \approx \frac{2{,}95\times10^{-95}}{7{,}62\times10^{-97}}\approx 38{,}7.
Finalmente:
T = (38{,}7)^{2/5}.
Calcular (38{,}7)^{0{,}4}: usando logaritmo ou calculadora mental aproximada,
T \approx 4{,}3\\ \text{K}.

Passo 6

Interpretação física e comentários práticos (aula-resumo curta e motivadora).
  • Resultado: é necessário resfriar o gás a algumas kelvin para que os efeitos quânticos comecem a ser importantes à pressão de 1\\ \text{atm}. Ou seja, à temperatura ambiente ( 300\\ \text{K}) a aproximação clássica de Boltzmann é perfeitamente válida para \mathrm{H}_2 a 1 atm.
  • Observação sobre a massa: usei explicitamente o valor de m fornecido no enunciado ( 1{,}67\times10^{-27}\\ \text{kg}). Se em vez disso fosse usada a massa real da molécula \mathrm{H}_2 (aproximadamente 2\times1{,}67\times10^{-27}=3{,}34\times10^{-27}\\ \text{kg}), a temperatura crítica cairia (escala com m^{-3/5}), ficando ainda menor (da ordem de 3\\ \text{K}). Isso só enfatiza que o valor obtido está na faixa de poucos kelvin.
  • Regra prática que vale decorar para provas: a condição de início de efeitos quânticos é n\lambda_{\text{th}}^{3}\sim1 com \lambda_{\text{th}}=\dfrac{h}{\sqrt{2\pi m k_B T}}. Montando com n=P/(k_B T) chega-se a uma equação do tipo T^{5/2}\propto P, que pode ser resolvida como fizemos.

Resposta

\displaystyle T \approx 4{,}3\\ \text{K}

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