Questão 2 (3 pontos). Considere
a região do plano limitada pelas retas de equaçōes
e
.
Item 2.1. ( 1,5 ponto). Considere a mudança de variáveis
e
. Descreva e esboce
nas coordenadas
e
e calcule
Item 2.1. ( 1,5 ponto). Considere a mudança de variáveis
Passo 1
O enunciado dá a região
do plano limitada pelas retas de equações
,
,
e
. Pede duas coisas:
- Descrever e esboçar
nas coordenadas e , onde e . - Calcular
.
Informações relevantes fornecidas:
- As retas que limitam
em coordenadas são precisamente e (duas linhas paralelas) e os eixos e . - A mudança de variáveis é dada por
e .
Passo 2
Primeiro vamos inverter a mudança de variáveis para escrever
e
em função de
e
. Isto é útil tanto para calcular o Jacobiano quanto para mapear a região.
Começamos de
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Portanto temos as funções inversas explicitamente:
Passo 3
Agora calculamos o Jacobiano
, ou seja o determinante da matriz das derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Primeiro obtemos as derivadas parciais:
A matriz Jacobiana é
O determinante é
Breve interpretação didática: esse determinante diz quanto um pequeno elemento de área
é esticado ou reduzido e possívelmente invertido de orientação ao ser enviado para
. O valor
indica que a área é multiplicada por
em módulo e que a orientação é invertida (o sinal negativo). Para integrais de área costuma-se usar
, ou seja
.]
Passo 4
Agora descrevemos a imagem da região
no plano
. Partimos das desigualdades que definem
em
:
Usando
e
, transformamos as condições
e
em desigualdades em
.
- A condição
é , ou seja
- A condição
é , ou seja
- A condição
é simplesmente
Combinando, a imagem
de
nas coordenadas
é o conjunto
Para confirmar geometricamente, calculemos as imagens dos quatro vértices de
em
:
- Interseção de
com : . - Interseção de
com : . - Interseção de
com : . - Interseção de
com : .
Esses quatro pontos delimitam claramente a região descrita: é a faixa vertical entre
e
, cortada pelas retas diagonais
(por cima) e
(por baixo). Em palavras para esboçar:
- desenhe eixos
(horizontal) e (vertical); - marque as linhas verticais
e ; - desenhe as retas
e ; - o domínio é a região entre
e e entre e (um “paralelogramo” truncado com vértices em e ). A região é simétrica em relação a .