O que é pedido: encontrar a solução y(t) que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial y(0)=1.
Informações relevantes dadas:
A equação relaciona a derivada \dfrac{dy}{dt} com t e y.
A condição inicial é y(0)=1, ou seja, o valor de y no ponto t=0 é 1.]
Passo 2
Qual método usar? Observando a equação, os termos com y e com t aparecem multiplicativamente e podem ser separados: isso indica que a equação é separável. Vou usar separação de variáveis porque é um método direto e simples para esse tipo de ODE; outros métodos (como linear, exato) não são naturais aqui.
Antes de separar, nota técnica: ao dividir por potências de y devemos garantir que y\neq0. A condição inicial dá y(0)=1\neq0, então é legítimo dividir por y^{3} numa vizinhança de t=0.
Passo 3
Separe as variáveis colocando todos os fatores com y num lado e os com t no outro. Começando de
\frac{dy}{dt}=\frac{t\,y^{3}}{\sqrt{1+t^{2}}},
dividindo por y^{3} e multiplicando por dt obtemos
\frac{dy}{y^{3}}=\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\,dt.
Aqui usei a operação válida de dividir por y^{3} (justificada porque y(0)=1) e de separar dt para integrar ambos os lados.
Passo 4
Integre ambos os lados. Vou explicar detalhadamente as integrais:
Integral à esquerda: aplicar a regra da primitiva de potências. Para n\neq -1 vale