Questão 1 (2.5 pontos):
Determine a soluçāo do PVI
\left\{\begin{aligned} \frac{d y}{d t} & =\frac{t y^{3}}{\sqrt{1+t^{2}}} \\\ y(0) & =1 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI):
\begin{cases} \displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{t\,y^{3}}{\sqrt{1+t^{2}}},\\[6pt] y(0)=1. \end{cases}
O que é pedido: encontrar a solução y(t) que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial y(0)=1.
Informações relevantes dadas:
  • A equação relaciona a derivada \dfrac{dy}{dt} com t e y.
  • A condição inicial é y(0)=1, ou seja, o valor de y no ponto t=0 é 1.]

Passo 2

Qual método usar? Observando a equação, os termos com y e com t aparecem multiplicativamente e podem ser separados: isso indica que a equação é separável. Vou usar separação de variáveis porque é um método direto e simples para esse tipo de ODE; outros métodos (como linear, exato) não são naturais aqui.
Antes de separar, nota técnica: ao dividir por potências de y devemos garantir que y\neq0. A condição inicial dá y(0)=1\neq0, então é legítimo dividir por y^{3} numa vizinhança de t=0.

Passo 3

Separe as variáveis colocando todos os fatores com y num lado e os com t no outro. Começando de
\frac{dy}{dt}=\frac{t\,y^{3}}{\sqrt{1+t^{2}}},
dividindo por y^{3} e multiplicando por dt obtemos
\frac{dy}{y^{3}}=\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\,dt.
Aqui usei a operação válida de dividir por y^{3} (justificada porque y(0)=1) e de separar dt para integrar ambos os lados.

Passo 4

Integre ambos os lados. Vou explicar detalhadamente as integrais:
  • Integral à esquerda: aplicar a regra da primitiva de potências. Para n\neq -1 vale
\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-3, logo
\int \frac{dy}{y^{3}}=\int y^{-3}\,dy=\frac{y^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2y^{2}}.
  • Integral à direita: usar substituição u=1+t^{2}. Então du=2t\,dt, isto é, t\,dt=\dfrac{du}{2}. Assim
\int \frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\,dt=\int \frac{1}{2}\frac{du}{\sqrt{u}}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{u}=\sqrt{u}=\sqrt{1+t^{2}}.
Portanto, integrando ambos os lados obtemos (somando uma constante de integração C num dos lados):
-\frac{1}{2y^{2}}=\sqrt{1+t^{2}}+C.

Passo 5

Determine a constante C usando a condição inicial y(0)=1. Substituindo t=0 e y=1 na igualdade integrada:
-\frac{1}{2\cdot 1^{2}}=\sqrt{1+0^{2}}+C \quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{2}=1+C.
Logo
C=-\frac{3}{2}.
Substituindo C na expressão geral:
-\frac{1}{2y^{2}}=\sqrt{1+t^{2}}-\frac{3}{2}.

Passo 6

Resolva essa igualdade para y. Multiplicando por -2:
\frac{1}{y^{2}}=-2\sqrt{1+t^{2}}+3.
Reescrevendo:
\frac{1}{y^{2}}=3-2\sqrt{1+t^{2}}.
Invertendo e tomando raiz positiva (a condição inicial dá y(0)=1>0, então escolhemos o sinal positivo da raiz):
y^{2}=\frac{1}{3-2\sqrt{1+t^{2}}} \quad\Rightarrow\quad y(t)=\frac{1}{\sqrt{3-2\sqrt{1+t^{2}}}}.
Expliquei a escolha do sinal: como y(0)=1>0 e a solução é contínua perto de 0, devemos tomar a raiz positiva.

Passo 7

Determinar o domínio maximal (intervalo onde a solução está bem definida). Exigimos que o denominador dentro da raiz seja positivo:
3-2\sqrt{1+t^{2}}>0 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{1+t^{2}}<\frac{3}{2}.
Elevando ao quadrado:
1+t^{2}<\frac{9}{4} \quad\Rightarrow\quad t^{2}<\frac{5}{4} \quad\Rightarrow\quad |t|<\frac{\sqrt{5}}{2}.
Portanto a solução está definida (pelo menos) no intervalo
\left(-\frac{\sqrt{5}}{2},\,\frac{\sqrt{5}}{2}\right),
que é o intervalo até o ponto onde o denominador zera e a solução teria singularidade.

Passo 8

Verificação rápida por diferenciação (consistência): partindo de
\frac{1}{y^{2}}=3-2\sqrt{1+t^{2}},
derivando ambos os lados em t:
-2y^{-3}\frac{dy}{dt}=-2\cdot\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}.
Cancelando -2 obtemos
\frac{dy}{dt}=y^{3}\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}},
que é exatamente a equação dada. Portanto a solução encontrada satisfaz a ODE e a condição inicial.

Resposta

y(t)=\frac{1}{\sqrt{3-2\sqrt{1+t^{2}}}},\quad |t|<\frac{\sqrt{5}}{2}.

Exercícios relacionados