Questão 3 (2,0 pontos). Considere a seguintes retas
a) Determine o plano beta que contém as retas r e s.
b) Considete a reta h que contém os pontos A=(1,2,3) e B=(1,1,1). Estude a posição relativa do plano beta do item a) e a reta h.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
a) determinar o plano
b) estudar a posição relativa entre esse plano (\beta] e a reta
Para existir um plano que contenha simultaneamente duas retas, elas devem ser coplanares (isto é, paralelas ou concorrentes).
Passo 2
Extraímos pontos e vetores diretores:
Na reta r, tomo P=(4,3,2) (quando t=0) e o vetor diretor
u=(-1,2,-3)
Na reta s, tomo Q=(-3,-2,1) (quando k=0) e o vetor diretor
v=(-3,6,-2)
Passo 3
Verificamos se r e s são paralelas ou se se intersectam. 1. Teste de paralelismo: u não é múltiplo escalar de v, logo não são paralelas. 2. Teste de interseção: resolvendo
obtém-se sistema inconsistente. Portanto não se intersectam.
Passo 4
Concluímos que r e s são retas reversas (skew): nem paralelas nem concorrentes. Duas retas reversas não podem estar ambas em um mesmo plano.
Resposta
a) Não existe plano beta que contenha simultaneamente as retas r e s, pois elas são reversas (skew).
b) Como o plano beta não existe, a posição relativa entre beta e a reta h não se aplica.