Questão 3 (2,0 pontos). Considere a seguintes retas
r:l x=4-t y=3+2 t z=2-3 t (t in R) s:l x=-3-3 k y=-2+6 k z=1-2 k (k in R)
a) Determine o plano beta que contém as retas r e s.
b) Considete a reta h que contém os pontos A=(1,2,3) e B=(1,1,1). Estude a posição relativa do plano beta do item a) e a reta h.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) determinar o plano
b) estudar a posição relativa entre esse plano (\beta] e a reta

Para existir um plano que contenha simultaneamente duas retas, elas devem ser coplanares (isto é, paralelas ou concorrentes).

Passo 2

Extraímos pontos e vetores diretores:
  • Na reta r, tomo P=(4,3,2) (quando t=0) e o vetor diretor
u=(-1,2,-3)
  • Na reta s, tomo Q=(-3,-2,1) (quando k=0) e o vetor diretor
v=(-3,6,-2)

Passo 3

Verificamos se r e s são paralelas ou se se intersectam.
1. Teste de paralelismo: u não é múltiplo escalar de v, logo não são paralelas.
2. Teste de interseção: resolvendo
4 - t = -3 - 3k, 3 + 2t = -2 + 6k, 2 - 3t = 1 - 2k
obtém-se sistema inconsistente. Portanto não se intersectam.

Passo 4

Concluímos que r e s são retas reversas (skew): nem paralelas nem concorrentes. Duas retas reversas não podem estar ambas em um mesmo plano.

Resposta

a) Não existe plano beta que contenha simultaneamente as retas r e s, pois elas são reversas (skew).
b) Como o plano beta não existe, a posição relativa entre beta e a reta h não se aplica.

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