Questão 3 (2,0 pontos). Determine a equação geral do plano pi que contém as seguintes retas:
r: x-12=y-33=z4 e s: 2 x1=4 y3=z-11

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano pi que contém as retas
r: x-12=y-33=z4 e s: 2x1=4y3=z-11
Para resolver precisamos obter uma representação paramétrica de cada reta, extrair vetores diretores e um ponto de cada reta, encontrar um vetor normal ao plano por produto vetorial e então montar a forma geral ax+by+cz+d=0.

Passo 2

Para a reta r, coloque
x-12=y-33=z4=lambda
Então
x=1+2lambda, y=3+3lambda, z=4lambda
Tomando lambda=0 obtemos o ponto P=(1,3,0) e o vetor diretor
v=(2,3,4).

Passo 3

Para a reta s, coloque
2x1=4y3=z-11=t
Dessa forma
x=t2, y=3t4, z=1+t
Para t=0 obtemos o ponto Q=(0,0,1) e o vetor diretor
w=l(tfrac12,tfrac34,1r).

Passo 4

Note que
w=tfrac14v,
ou seja, as retas são paralelas (mesmo vetor diretor). Para definir o plano usamos v e o vetor que liga P a Q:
PQ=Q-P=(-1,-3,1)

Passo 5

O vetor normal ao plano é
n =vtimesPQ = i&j&k 2&3&4 -1&-3&1 =(15,-6,-3),
que pode ser simplificado dividindo por 3 para
n=(5,-2,-1).

Passo 6

A forma geral do plano a partir de P=(1,3,0) e n=(5,-2,-1) é
5(x-1)-2(y-3)-1(z-0)=0
ou seja,
5x-2y-z+1=0

Resposta

A equação geral do plano pi é
5x-2y-z+1=0

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