Questão 2 (3,0 ponto). Considere os planos:
pi: x-y+2=0 alpha: x-y=z+2
a) Estude a posição relativa entre os planos.
b) Determine a equação paramétrica de uma reta g que é paralela ao plano alpha e passa pelo ponto P0=(3,2,1).

Passo 1

O enunciado dá dois planos
pi: x - y + 2 = 0
alpha: x - y = z + 2
e pede em (a) a posição relativa entre eles (se são paralelos, coincidentes ou se se cruzam) e em (b) a equação paramétrica de uma reta g que seja paralela a alpha e passe por P0=(3,2,1). Para isso vamos usar conceitos de vetores normais de planos e a condição de paralelismo entre reta e plano.

Passo 2

Para estudar a posição relativa entre pi e alpha extraímos os vetores normais de cada um. No caso de um plano Ax+By+Cz+D=0, o vetor normal é (A,B,C).
No plano pi temos
pi: x - y + 2 = 0 Longrightarrow npi = (1,,-1,,0)
No plano alpha podemos escrever
alpha: x - y - z - 2 = 0 Longrightarrow nalpha = (1,,-1,,-1)

Passo 3

Dois planos são paralelos exatamente quando seus vetores normais são proporcionales. Aqui vemos que não existe escalar lambda tal que
(1,-1,-1) = lambda,(1,-1,0),
pois o terceiro componente em nalpha é -1 enquanto em npi é 0. Logo, os planos não são paralelos nem coincidentes, e portanto intersectam-se segundo uma reta de interseção.

Passo 4

Para achar uma reta g paralela ao plano alpha e passando por P0=(3,2,1), basta escolher um vetor direção v que seja ortogonal a nalpha. A condição de paralelismo entre reta e plano é
nalphacdot v = 0
Como nalpha=(1,-1,-1), procuramos v=(v1,v2,v3) tal que
1cdot v1 + (-1)cdot v2 + (-1)cdot v3 = 0 Longrightarrow v1 - v2 - v3 = 0
Uma escolha simples é v=(1,0,1), pois
1 - 0 - 1 = 0

Passo 5

Assim, a reta g em forma paramétrica, com ponto inicial P0=(3,2,1) e direção v=(1,0,1), é
g: x = 3 + t, y = 2 + 0,t = 2, z = 1 + t

Resposta

a) Os planos pi e alpha não têm normais proporcionais, logo não são paralelos nem coincidentes; portanto intersectam-se em uma reta.
b) Uma reta g paralela a alpha e passando por P0=(3,2,1) é
x = 3 + t, y = 2, z = 1 + t

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