a) Estude a posição relativa entre os planos.
b) Determine a equação paramétrica de uma reta que é paralela ao plano e passa pelo ponto .
Passo 1
O enunciado dá dois planos
e pede em (a) a posição relativa entre eles (se são paralelos, coincidentes ou se se cruzam) e em (b) a equação paramétrica de uma reta que seja paralela a e passe por . Para isso vamos usar conceitos de vetores normais de planos e a condição de paralelismo entre reta e plano.
Passo 2
Para estudar a posição relativa entre e extraímos os vetores normais de cada um. No caso de um plano , o vetor normal é .
No plano temos
No plano podemos escrever
Passo 3
Dois planos são paralelos exatamente quando seus vetores normais são proporcionales. Aqui vemos que não existe escalar tal que
pois o terceiro componente em é enquanto em é . Logo, os planos não são paralelos nem coincidentes, e portanto intersectam-se segundo uma reta de interseção.
Passo 4
Para achar uma reta paralela ao plano e passando por , basta escolher um vetor direção que seja ortogonal a . A condição de paralelismo entre reta e plano é
Como , procuramos tal que
Uma escolha simples é , pois
Passo 5
Assim, a reta em forma paramétrica, com ponto inicial e direção , é
Resposta
a) Os planos pi e alpha não têm normais proporcionais, logo não são paralelos nem coincidentes; portanto intersectam-se em uma reta.
b) Uma reta g paralela a alpha e passando por P0=(3,2,1) é