Questão 5: (1.5 pontos) Considere uma sequência \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} de números reais.
(a) O que significa dizer que \lim x_{n}=+\infty ? Escreva a definição formal.
(b) Utilize essa definição para provar que a sequência x_{n}=n^{2} diverge para +\infty, ou seja, que \lim x_{n}=+\infty.

Passo 1

Estamos trabalhando com sequências reais \bigl(x_{n}\bigr)_{n\in\mathbb{N}} e queremos entender o conceito de “limite igual a +\infty” e, em seguida, aplicar esse conceito para mostrar que a sequência x_{n}=n^{2} diverge para +\infty. Vamos usar a definição formal de divergência para mais infinito e depois construir a prova para n^{2}.

Passo 2

Definição formal de \lim x_{n}=+\infty: dizemos que
\lim_{n\to\infty}x_{n}=+\infty
se, para todo número real M>0, existe um índice N\in\mathbb{N} tal que, sempre que n\ge N, ocorra
x_{n}\ge M.
Em outras palavras, ultrapassamos qualquer altura M escolhida, bastando ir suficientemente longe na sequência.

Passo 3

Para provar que x_{n}=n^{2} satisfaz essa definição, tomamos um M>0 arbitrário e precisamos encontrar um N que dependa de M e garanta n^{2}\ge M sempre que n\ge N.

Passo 4

Escolhemos
N = \lfloor \sqrt{M}\rfloor + 1,
onde \lfloor \sqrt{M}\rfloor é a parte inteira de \sqrt{M}. Então, se n\ge N, temos
n \ge \lfloor \sqrt{M}\rfloor + 1 > \sqrt{M},
logo
n^{2} > \bigl(\sqrt{M}\bigr)^{2} = M.
Isso mostra que, dado qualquer M>0, existe N tal que n\ge N implica x_{n}=n^{2}\ge M. Portanto \lim_{n\to\infty}n^{2}=+\infty.

Resposta

(a) Dizemos que \lim_{n\to\infty}x_{n}=+\infty se, para todo M>0, existe N\in\mathbb{N} tal que n\ge N implica x_{n}\ge M.
(b) Para x_{n}=n^{2}, dado M>0, basta tomar N=\lfloor \sqrt{M}\rfloor+1. Então n\ge N implica n>\sqrt{M} e, assim, n^{2}>M. Logo \lim_{n\to\infty}n^{2}=+\infty.

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