Questão 5: (1.5 pontos) Considere uma sequência
de números reais.
(a) O que significa dizer que
? Escreva a definição formal.
(b) Utilize essa definição para provar que a sequência
diverge para
, ou seja, que
.
(a) O que significa dizer que
(b) Utilize essa definição para provar que a sequência
Passo 1
Estamos trabalhando com sequências reais
e queremos entender o conceito de “limite igual a
” e, em seguida, aplicar esse conceito para mostrar que a sequência
diverge para
. Vamos usar a definição formal de divergência para mais infinito e depois construir a prova para
.
Passo 2
Definição formal de
: dizemos que
se, para todo número real
, existe um índice
tal que, sempre que
, ocorra
Em outras palavras, ultrapassamos qualquer altura
escolhida, bastando ir suficientemente longe na sequência.
Passo 3
Para provar que
satisfaz essa definição, tomamos um
arbitrário e precisamos encontrar um
que dependa de
e garanta
sempre que
.
Passo 4
Escolhemos
onde
é a parte inteira de
. Então, se
, temos
logo
Isso mostra que, dado qualquer
, existe
tal que
implica
. Portanto
.
Resposta
(a) Dizemos que
se, para todo
, existe
tal que
implica
.
(b) Para
, dado
, basta tomar
. Então
implica
e, assim,
. Logo
.