Questão 3: Mostre que:
(a) Se p>0, então \lim \frac{1}{n^{p}}=0 e \lim n^{p}=+\infty (Utilizar a respectiva definição).
(b) Se a_{n} \rightarrow a e a_{n} \geqslant 0, \forall n \in \mathbb{N}, então \sqrt{a_{n}} \rightarrow \sqrt{a}.
(c) Se a_{n} \rightarrow L então \left|a_{n}\right| \rightarrow|L|. A recíproca é verdadeira?

Passo 1

O enunciado pede três resultados sobre limites de sequências:
(a) provar, usando definição \epsilon–N, que para todo p>0 vale
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1{n^{p}}=0 e \displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{p}=+\infty;
(b) provar que se \bigl(a_{n}\bigr) converge para a\ge0, então \sqrt{a_{n}}\to\sqrt{a};
(c) mostrar que a_{n}\to L implica \lvert a_{n}\rvert\to\lvert L\rvert e discutir se a recíproca é verdadeira.
Vamos usar definições clássicas de limite de sequência e desigualdades usuais.

Passo 2

Prova de (a):
1. Para \displaystyle\lim\frac1{n^{p}}=0. Dado \varepsilon>0, queremos n tal que
\left|\frac1{n^p}-0\right|=\frac1{n^p}<\varepsilon.
Escolha N inteiro com
N>\bigl(\tfrac1\varepsilon\bigr)^{\!1/p}.
Então, para todo n\ge N vale n^p\ge N^p>1/\varepsilon, logo 1/n^p<\varepsilon.
2. Para \displaystyle\lim n^{p}=+\infty. Dado M>0, queremos n tal que n^p>M. Basta escolher
N>\,M^{1/p}.
Então, para todo n\ge N temos n^p\ge N^p>M, o que mostra n^p\to+\infty.

Passo 3

Prova de (b):
Assuma a_{n}\to a com a\ge0 e a_{n}\ge0. Queremos mostrar
\sqrt{a_{n}}\to\sqrt{a}. Observe a identidade
\bigl|\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a}\bigr| =\frac{\bigl|a_{n}-a\bigr|}{\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a}}.
Como a_{n}\to a, para n grande a_{n} fica próximo de a. Se a>0, existe N_{0} tal que, para n\ge N_{0}, temos \sqrt{a_{n}}+\sqrt{a}\ge\sqrt{a}. Assim, dado \varepsilon>0, escolha N para garantir \lvert a_{n}-a\rvert<\varepsilon\,\sqrt{a}; então para n\ge\max\{N,N_{0}\}
\bigl|\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a}\bigr| \le\frac{\varepsilon\,\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\varepsilon.
Se a=0, então a_{n}\to0 e, dado \varepsilon>0, para n grande vale a_{n}<\varepsilon^{2}, de modo que
0\le\sqrt{a_{n}}<\varepsilon,
logo \sqrt{a_{n}}\to0=\sqrt{a}.

Passo 4

Prova de (c) (direção direta):
Se a_{n}\to L, então
\bigl|\lvert a_{n}\rvert-\lvert L\rvert\bigr|\le\lvert a_{n}-L\rvert.
Dado \varepsilon>0, existe N tal que \lvert a_{n}-L\rvert<\varepsilon para todo n\ge N. Logo \lvert\,\lvert a_{n}\rvert-\lvert L\rvert\,\rvert<\varepsilon e assim \lvert a_{n}\rvert\to\lvert L\rvert.

Passo 5

Contra-exemplo à recíproca:
Escolha a_{n}=(-1)^{n}. Então \lvert a_{n}\rvert=1 para todo n, de modo que \lvert a_{n}\rvert\to1. Mas a sequência a_{n} não converge (oscila entre -1 e 1). Logo não basta \lvert a_{n}\rvert\to\lvert L\rvert para garantir a_{n}\to L.

Resposta

(a) \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1{n^{p}}=0 e \displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{p}=+\infty.
(b) Se a_{n}\to a\ge0 e a_{n}\ge0, então \sqrt{a_{n}}\to\sqrt{a}.
(c) a_{n}\to L implica \lvert a_{n}\rvert\to\lvert L\rvert. A recíproca é falsa (por exemplo, a_{n}=(-1)^{n}).

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