Questão 1: (1.5 pontos) Escolha e demonstre uma, e apenas uma, das afirmações abaixo. Marque com “X” a opção escolhida.
a. ( ) Sendo a_{n} \geqslant 0 e b_{n} \geqslant 0, para todo n \in \mathbb{N}, prove que, se as séries \sum a_{n}^{2} e \sum b_{n}^{2} são convergentes, então a série \sum a_{n} b_{n} também é convergente.
b. ( ) Mostre que, se a>-1, então
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(a+n)(a+n+1)}=\frac{1}{a+1} .
(Dica: utilize o método de frações parciais).

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dadas duas sequências com termos não negativos \{a_n\} e \{b_n\}, se as séries \sum a_n^2 e \sum b_n^2 convergem, então também converge a série \sum a_n b_n. O conteúdo aqui é teste de comparação para séries de termos não negativos, usando uma desigualdade que relacione a_n b_n com a_n^2 e b_n^2.

Passo 2

Usamos a desigualdade clássica da média aritmética e geométrica: para todo n,
2\,a_n b_n \;\le\; a_n^2 + b_n^2.
Dividindo por 2, obtemos
a_n b_n \;\le\;\tfrac12\,a_n^2 \;+\;\tfrac12\,b_n^2.

Passo 3

Somando essa desigualdade para n=1 até N, dá
\sum_{n=1}^{N}a_n b_n \;\le\;\tfrac12\sum_{n=1}^{N}a_n^2 \;+\;\tfrac12\sum_{n=1}^{N}b_n^2.
Como por hipótese \sum a_n^2<\infty e \sum b_n^2<\infty, o lado direito tem limite finito quando N\to\infty. Logo, por teste de comparação,
\sum a_n b_n converge.

Resposta

a. (X) Sendo a_{n}\geqslant0 e b_{n}\geqslant0, se \sum a_{n}^{2} e \sum b_{n}^{2} convergem, então \sum a_{n}b_{n} também converge.
b. ( ) Mostre que, se a>-1, então \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(a+n)(a+n+1)}=\frac{1}{a+1}.

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