Questão 1: (1.5 pontos) Escolha e demonstre uma, e apenas uma, das afirmações abaixo. Marque com “X” a opção escolhida.
a. ( ) Sendo
e
, para todo
, prove que, se as séries
e
são convergentes, então a série
também é convergente.
b. ( ) Mostre que, se
, então
(Dica: utilize o método de frações parciais).
a. ( ) Sendo
b. ( ) Mostre que, se
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dadas duas sequências com termos não negativos
e
, se as séries
e
convergem, então também converge a série
. O conteúdo aqui é teste de comparação para séries de termos não negativos, usando uma desigualdade que relacione
com
e
.
Passo 2
Usamos a desigualdade clássica da média aritmética e geométrica: para todo
,
Dividindo por
, obtemos
Passo 3
Somando essa desigualdade para
até
, dá
Como por hipótese
e
, o lado direito tem limite finito quando
. Logo, por teste de comparação,
converge.
Resposta
a. (X) Sendo
e
, se
e
convergem, então
também converge.
b. ( ) Mostre que, se , então
.
b. ( ) Mostre que, se