Questão 3: (1.5 pontos) Mostre que se um subconjunto de \mathbb{R} tem elemento máximo (respectivamente, mínimo) então esse elemento é o supremo (respectivamente, ínfimo).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um subconjunto A\subseteq\mathbb{R}, se existe um elemento máximo em A então esse elemento coincide com \sup A, e se existe um elemento mínimo em A então esse elemento coincide com \inf A. Vamos usar as definições de máximo, mínimo, majorante, minorante, supremum e ínfimum.

Passo 2

Suponha que m\in A seja o elemento máximo de A.
Por definição de máximo, temos
\forall x\in A,\quad x \le m,
ou seja, m é um majorante de A. Seja agora u\in\mathbb{R} qualquer majorante de A, isto é,
\forall x\in A,\quad x \le u.
Em particular, aplicando a x=m\in A, obtemos m \le u. Logo m é o menor dos majorantes de A e, pela definição,
m = \sup A.

Passo 3

De modo análogo, suponha que n\in A seja o elemento mínimo de A.
Pela definição de mínimo,
\forall x\in A,\quad n \le x,
ou seja, n é um minorante de A. Se l\in\mathbb{R} for outro minorante, temos
\forall x\in A,\quad l \le x,
e em particular, para x=n\in A, segue l \le n. Portanto n é o maior dos minorantes de A e, pela definição,
n = \inf A.

Resposta

Mostramos que, sempre que existe \max A, este é \sup A, e que, sempre que existe \min A, este é \inf A.

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