Questão 3: (1.5 pontos) Mostre que se um subconjunto de
tem elemento máximo (respectivamente, mínimo) então esse elemento é o supremo (respectivamente, ínfimo).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um subconjunto
, se existe um elemento máximo em
então esse elemento coincide com
, e se existe um elemento mínimo em
então esse elemento coincide com
. Vamos usar as definições de máximo, mínimo, majorante, minorante, supremum e ínfimum.
Passo 2
Suponha que
seja o elemento máximo de
.
Por definição de máximo, temos
Por definição de máximo, temos
ou seja,
é um majorante de
. Seja agora
qualquer majorante de
, isto é,
Em particular, aplicando a
, obtemos
. Logo
é o menor dos majorantes de
e, pela definição,
Passo 3
De modo análogo, suponha que
seja o elemento mínimo de
.
Pela definição de mínimo,
Pela definição de mínimo,
ou seja,
é um minorante de
. Se
for outro minorante, temos
e em particular, para
, segue
. Portanto
é o maior dos minorantes de
e, pela definição,
Resposta
Mostramos que, sempre que existe
, este é
, e que, sempre que existe
, este é
.