Questão (4 pontos) Considere o sistema linear
X^-t=A X, onde A=(ll 2 & 1 2 & 3 ) D=2 / 3
a) Encontre os autovalores e autovetores de A;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A=2 & 12 & 3
Vamos usar a teoria de autovalores: primeiro montamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0.

Passo 2

Para uma matriz 2×2 valem as fórmulas
trace(A)=a11+a22, det(A)=a11a22-a12a21,
e o polinômio característico é
lambda^2-l(trace(A)r)lambda+det(A)=0
Aqui temos
trace(A)=2+3=5,
det(A)=2cdot3-1cdot2=6-2=4,
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lambda^2-5lambda+4=0

Passo 3

Resolvendo o polinômio lambda^2-5lambda+4=0 pela fórmula de Bhaskara:
lambda=5pmraiz25-162=5pm32,
nos dá os autovalores
lambda1=1,
lambda2=4

Passo 4

Para cada autovalor resolvemos (A-lambda I)v=0:
  1. lambda1=1:
A-I=2-1 & 12 & 3-1=1 & 12 & 2
O sistema x1+x2=0 leva a x1=-x2. Escolhendo x2=1, um autovetor é
v1=1-1

Passo 5

  1. lambda2=4:
A-4I=2-4 & 12 & 3-4=-2 & 12 & -1
O sistema -2x1+x2=0 x2=2x1. Tomando x1=1, um autovetor é
v2=12

Resposta

Autovalores: lambda1=1, lambda2=4.
Autovetores correspondentes: v1=(1,-1)^T e v2=(1,2)^T.

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