Questão (4 pontos) Considere o sistema linear
a) Encontre os autovalores e autovetores de
;
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
Vamos usar a teoria de autovalores: primeiro montamos o polinômio característico
.
Passo 2
Para uma matriz 2×2 valem as fórmulas
e o polinômio característico é
Aqui temos
logo
Passo 3
Resolvendo o polinômio
pela fórmula de Bhaskara:
nos dá os autovalores
Passo 4
Para cada autovalor resolvemos
:
-
:
O sistema
leva a
. Escolhendo
, um autovetor é
Passo 5
-
:
O sistema
dá
. Tomando
, um autovetor é
Resposta
Autovalores:
,
.
Autovetores correspondentes: e
.
Autovetores correspondentes: