Para a função
determine: os seus números críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento e os extremos locais (maximos e mínimos).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a função $ f(x) = x^{3} - 4x^{2} + 9x - 1 $. Nosso objetivo é encontrar os números críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento e os extremos locais (máximos e mínimos). Para isso, vamos precisar usar derivadas, que é um conteúdo de Cálculo Diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $, porque os números críticos são os valores de $ x $ onde a derivada é zero ou não existe. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como a função está crescendo ou diminuindo naquele ponto.
A função dada é:
Vamos derivar cada termo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os números críticos resolvendo a equação $ f’(x) = 0 $:
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
onde $ a = 3 $, $ b = -8 $ e $ c = 9
\Delta $):
Como o discriminante é negativo ($ \Delta < 0 $), não existem raízes reais. Isso significa que a derivada nunca é zero e, portanto, não há números críticos para essa função.
Passo 4
Sem números críticos, precisamos analisar o sinal da derivada $ f’(x) $ para determinar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo.
Vamos analisar o sinal de $ f’(x) = 3x^{2} - 8x + 9 $. Como o discriminante é negativo, a parábola representada por $ f’(x) $ não intercepta o eixo $ x $ e, como o coeficiente de $ x^{2} $ é positivo, a derivada é sempre positiva para todo $ x $.
Passo 5
Como a derivada $ f’(x) $ é sempre positiva, isso indica que a função $ f(x) $ está sempre crescendo em todo o seu domínio. Não há intervalos de decrescimento porque a derivada nunca é negativa.
Passo 6
Já que não encontramos números críticos e a função está sempre crescendo, isso significa que não há extremos locais (nem máximos nem mínimos) na função $ f(x) $.
Resposta
A função $ f(x) = x^{3} - 4x^{2} + 9x - 1 $ não possui números críticos nem extremos locais. Ela está sempre crescendo para todo o valor de $ x $.