Questão 4. (2 pontos) Considere o sistema massa-mola que é descrito pela equação
x^prime prime+6 x^prime+9 x=0
a) Encontre a solução geral da EDO acima.
b) Resolva o PVI para x(0)=a, a>0 e x^prime(0)=b.
c) Qual a condição que a, b devem satisfazer para que a massa passe uma vez pela posição de equilíbrio (x=0) ?

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, que aparece no modelo massa–mola amortecido:
x'' + 6x' + 9x = 0
Para resolver precisamos usar o método da equação característica. Após achar a solução geral, aplicaremos as condições iniciais x(0)=a e x'(0)=b para obter o PVI. Por fim, vamos analisar quando essa solução zera para t>0.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 + 6r + 9 = 0
O discriminante é De<a = 6^2 - 4cdot1cdot9 = 36 - 36 = 0, logo há raiz dupla
r = -62 = -3
Para raiz dupla em EDO linear homogênea, a solução geral é
x(t) = C1 e^-3t + C2,t,e^-3t,
onde C1 e C2 são constantes a determinar.

Passo 3

Agora aplicamos x(0)=a e x'(0)=b. Em t=0 temos
x(0) = C1 = a
Em seguida calculamos
x'(t) = -3C1 e^-3t + C2 e^-3t -3C2,t,e^-3t = e^-3tl(-3C1 + C2 -3C2,tr)
Logo em t=0
x'(0) = -3C1 + C2 = b Longrightarrow C2 = b + 3a
Portanto a solução do PVI é
x(t) = a,e^-3t + (b + 3a),t,e^-3t

Passo 4

Para que a massa passe pela posição de equilíbrio x=0 em algum instante t>0, basta achar t tal que
0 = a + (b+3a),t
Isso dá
t = -ab + 3a
Como a>0, precisamos de t>0, ou seja
-ab+3a > 0 Longrightarrow b + 3a < 0

Resposta

a) x(t) = C1 e^-3t + C2,t,e^-3t
b) x(t) = a,e^-3t + (b + 3a),t,e^-3t
c) A condição é b + 3a < 0.

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