Questão 4. (2 pontos) Considere o sistema massa-mola que é descrito pela equação
a) Encontre a solução geral da EDO acima.
b) Resolva o PVI para
e
.
c) Qual a condição que
devem satisfazer para que a massa passe uma vez pela posição de equilíbrio
?
b) Resolva o PVI para
c) Qual a condição que
Passo 1
O enunciado nos dá uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, que aparece no modelo massa–mola amortecido:
Para resolver precisamos usar o método da equação característica. Após achar a solução geral, aplicaremos as condições iniciais
e
para obter o PVI. Por fim, vamos analisar quando essa solução zera para
.
Passo 2
Formamos a equação característica associada:
O discriminante é
, logo há raiz dupla
Para raiz dupla em EDO linear homogênea, a solução geral é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 3
Agora aplicamos
e
. Em
temos
Em seguida calculamos
Logo em
Portanto a solução do PVI é
Passo 4
Para que a massa passe pela posição de equilíbrio
em algum instante
, basta achar
tal que
Isso dá
Como
, precisamos de
, ou seja
Resposta
a)
b)
c) A condição é .
b)
c) A condição é