Questão (3 pontos)
b) Encontre uma solução particular da equação diferencial
b) Encontre uma solução particular da equação diferencial
Passo 1
Vamos encontrar uma solução particular da equação diferencial não-homogênea de coeficientes constantes
O método de coeficientes a determinar diz que a gente vai propor um \emph{ansatz} para cada termo do lado direito (polinomial e exponencial) e ajustar os parâmetros.
Passo 2
Primeiro, tratamos do termo polinomial
. Como o operador diferencial
tem raiz
de multiplicidade 1, e o polinômio deg
gera ressonância de ordem 1, o palpite é
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
:
Igualando coeficientes de
e termo constante:
Logo,
Passo 3
Agora cuidamos do termo exponencial
. A raiz
de
aparece na homogênea, então há ressonância de ordem 1. O palpite é
Derivando:
Substituindo em
:
Daí
e
. Logo,
Passo 4
A solução particular completa é a soma das duas partes: