Questão (3 pontos)
b) Encontre uma solução particular da equação diferencial
(1) y^prime prime prime(t)-3 y^prime prime(t)+2 y^prime(t)=t+epsilon^t

Passo 1

Vamos encontrar uma solução particular da equação diferencial não-homogênea de coeficientes constantes
y^primeprimeprime(t)-3y^primeprime(t)+2y^prime(t)=t+e^t
O método de coeficientes a determinar diz que a gente vai propor um \emph{ansatz} para cada termo do lado direito (polinomial e exponencial) e ajustar os parâmetros.

Passo 2

Primeiro, tratamos do termo polinomial t. Como o operador diferencial L(D)=D^3-3D^2+2D tem raiz r=0 de multiplicidade 1, e o polinômio deg 1 gera ressonância de ordem 1, o palpite é
yp1(t)=a,t^2+b,t
Calculamos as derivadas:
yp1'=2a,t+b,
yp1''=2a,
yp1'''=0
Substituindo em L(yp1)=t:
0-3(2a)+2(2a,t+b)=4a,t+(2b-6a)=t
Igualando coeficientes de t e termo constante:
4a=1Rightarrow a=tfrac14,
2b-6a=0Rightarrow 2b-6l(tfrac14r)=0implies b=tfrac34
Logo,
yp1(t)=tfrac14t^2+tfrac34t

Passo 3

Agora cuidamos do termo exponencial e^t. A raiz r=1 de L(r)=0 aparece na homogênea, então há ressonância de ordem 1. O palpite é
yp2(t)=C,t,e^t
Derivando:
yp2'=C,e^t(t+1),
yp2''=C,e^t(t+2),
yp2'''=C,e^t(t+3)
Substituindo em L(yp2)=e^t:
C,e^t[(t+3)-3(t+2)+2(t+1)]=C,e^t[-1]=-C,e^t=e^t
Daí -C=1 e C=-1. Logo,
yp2(t)=-t,e^t

Passo 4

A solução particular completa é a soma das duas partes:
yp(t)=yp1(t)+yp2(t)=tfrac14t^2+tfrac34t - t,e^t

Resposta

yp(t)=tfrac14t^2+tfrac34t - t,e^t

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