Questão 4: (2.5 pontos)
Considere as superfícies dadas por
\begin{array}{ll} S_{1}: & 20 z=4 x^{2}-5 y^{2} \quad m_{1}=(4,-5,20) \\\ S_{2}: & 4 x^{2}+5 y^{2}=20 . \quad m_{2}=(4,5,0) \end{array}
Encontre uma parametrização para curva de interseção entre S_{1} e S_{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies e pede uma parametrização da curva de interseção entre elas. As informações dadas são:
S_{1}:\;20z=4x^{2}-5y^{2},\qquad m_{1}=(4,-5,20)
S_{2}:\;4x^{2}+5y^{2}=20,\qquad m_{2}=(4,5,0)
O que se pede explicitamente: encontrar uma função vetor \mathbf{r}(t) que descreva todos os pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente as duas equações acima (ou seja, a curva S_{1}\cap S_{2}). Todas as informações relevantes do enunciado foram listadas acima.

Passo 2

Observe primeiro a equação de S_{2}:
4x^{2}+5y^{2}=20.
Dividindo ambos os lados por 20 obtemos a forma padrão de uma elipse:
\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1.
Aqui estamos reconhecendo que essa é uma elipse centrada na origem com semi-eixos \sqrt{5} ao longo de x e 2 ao longo de y. Vou explicitar: se a equação tem a forma
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
então os semi-eixos são a e b.

Passo 3

A parametrização padrão (e muito prática) de uma elipse \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 é
x=a\cos t,\qquad y=b\sin t,
porque substituindo:
\frac{(a\cos t)^{2}}{a^{2}}+\frac{(b\sin t)^{2}}{b^{2}}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1.
Aqui t é o parâmetro real (geralmente tomamos t\in[0,2\pi) para percorrer a elipse uma vez). Nas fórmulas, a e b são constantes positivas que representam os semi-eixos da elipse.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, com a=\sqrt{5} e b=2, temos uma parametrização para as coordenadas x e y ao longo da curva de interseção:
x(t)=\sqrt{5}\cos t,\qquad y(t)=2\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).

Passo 5

Agora precisamos obter z(t) de modo que o ponto (x(t),y(t),z(t)) satisfaça também S_{1}. Usamos a equação de S_{1}:
20z=4x^{2}-5y^{2}.
Substituindo x(t) e y(t):
x^{2}(t)=5\cos^{2}t,\qquad y^{2}(t)=4\sin^{2}t.
Logo
4x^{2}(t)-5y^{2}(t)=4\cdot 5\cos^{2}t-5\cdot 4\sin^{2}t=20(\cos^{2}t-\sin^{2}t).
Usamos aqui a identidade trigonométrica
\cos(2t)=\cos^{2}t-\sin^{2}t.
Portanto
4x^{2}(t)-5y^{2}(t)=20\cos(2t),
e a equação 20z=4x^{2}-5y^{2}
20z(t)=20\cos(2t)\quad\Rightarrow\quad z(t)=\cos(2t).

Passo 6

Reunindo tudo, uma parametrização da curva de interseção é
\mathbf{r}(t)=\big(\sqrt{5}\cos t,\;2\sin t,\;\cos(2t)\big),\qquad t\in[0,2\pi).
Para verificar rapidamente: substituindo em S_{2} obtemos 4x^{2}+5y^{2}=20(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=20, e substituindo em S_{1} obtemos 20z=20\cos(2t)=4x^{2}-5y^{2}, então a parametrização satisfaz ambas as superfícies. O parâmetro t percorre a curva de forma suave e periódica (uma volta completa para t de 0 a 2\pi).

Resposta

\mathbf{r}(t)=\big(\sqrt{5}\cos t,\;2\sin t,\;\cos(2t)\big),\qquad t\in[0,2\pi).

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