Questão 4: (2.5 pontos)
Considere as superfícies dadas por
Encontre uma parametrização para curva de interseção entre
e
.
Considere as superfícies dadas por
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies e pede uma parametrização da curva de interseção entre elas. As informações dadas são:
O que se pede explicitamente: encontrar uma função vetor
que descreva todos os pontos
que satisfazem simultaneamente as duas equações acima (ou seja, a curva
). Todas as informações relevantes do enunciado foram listadas acima.
Passo 2
Observe primeiro a equação de
:
Dividindo ambos os lados por
obtemos a forma padrão de uma elipse:
Aqui estamos reconhecendo que essa é uma elipse centrada na origem com semi-eixos
ao longo de
e
ao longo de
. Vou explicitar: se a equação tem a forma
então os semi-eixos são
e
.
Passo 3
A parametrização padrão (e muito prática) de uma elipse
é
porque substituindo:
Aqui
é o parâmetro real (geralmente tomamos
para percorrer a elipse uma vez). Nas fórmulas,
e
são constantes positivas que representam os semi-eixos da elipse.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso, com
e
, temos uma parametrização para as coordenadas
e
ao longo da curva de interseção:
Passo 5
Agora precisamos obter
de modo que o ponto
satisfaça também
. Usamos a equação de
:
Substituindo
e
:
Logo
Usamos aqui a identidade trigonométrica
Portanto
e a equação
dá
Passo 6
Reunindo tudo, uma parametrização da curva de interseção é
Para verificar rapidamente: substituindo em
obtemos
, e substituindo em
obtemos
, então a parametrização satisfaz ambas as superfícies. O parâmetro
percorre a curva de forma suave e periódica (uma volta completa para
de
a
).