Teste a série para convergência ou divergência:
Passo 1
O enunciado pede para testar se a série
converge ou diverge. Informações dadas pelo enunciado:
converge ou diverge. Informações dadas pelo enunciado:
- Os termos gerais são
. - A parte magnitudinal (módulo) dos termos é
, que é positiva para todo . - A presença de
faz os sinais dos termos alternarem: positivo, negativo, positivo, …
Passo 2
Vou verificar duas coisas importantes que aparecem frequentemente em testes de séries alternadas:
- Se os
são uma sequência positiva e monotonicamente decrescente (ou seja, a partir de algum ). - Se
.
Se ambos forem verdadeiros, a parte oscilante com sinais alternados tende a dar convergência (vou explicar isso em detalhe no próximo passo). Então primeiro analisamos
.
Passo 3
Mostrando que
é decrescente para
.
Compare
e
:
Como
para todo
, temos
ou seja
. Portanto a sequência
é estritamente decrescente para todo
.
(Comentário rápido: outra forma é notar que a função
tem derivada negativa para
, logo decresce, mas a comparação direta entre
e
já é suficiente.)
Passo 4
Mostrando que
.
Temos
Quando
,
, logo o quociente tende a
. Formalmente,
Portanto a segunda condição (os termos vão a zero) também é satisfeita.
Passo 5
Explicação didática do motivo pelo qual as condições acima garantem convergência (intuição + enunciado do teste).
Intuição: para uma série com sinais alternados e termos positivos
decrescentes que vão a zero, as somas parciais formam dois subsequências (uma com
e outra com
) que são monotonicamente convergentes uma para cima e outra para baixo, e ambas ficam cada vez mais próximas porque os termos vão a zero. Isso garante que as somas parciais têm limite comum — a série converge.
Enunciado prático que usamos (forma usual do teste de Leibniz): se
satisfaz
-
para todo , -
a partir de algum , -
,
então a sérieconverge.
Além disso, existe uma estimativa de erro útil: o resto
satisfaz
. Isso é prático na prova para limitar o erro ao truncar a série.
Passo 6
Aplicando o teste: já mostramos que
, que
e que
. Portanto, pela condição descrita no passo anterior, a série
converge.
converge.
Passo 7
Agora verificar convergência absoluta (para decidir se é convergência absoluta ou condicional).
A série de valores absolutos é
Esta é uma série do tipo p-série com
, pois
. Lembre-se do critério das p-séries: a série
converge se, e somente se,
. Aqui
, então a p-série diverge.
Uma verificação alternativa e muito direta é usar o teste da integral: considere a função
, que é positiva e decrescente para
. Então
logo a série
diverge pelo teste da integral. Assim a série dos módulos diverge, portanto a série original não converge absolutamente.
Passo 8
Conclusão final (definições e interpretação):
- A série
converge pelo teste para séries alternadas (condição: termos positivos decrescentes que vão a zero). - Entretanto a série dos valores absolutos
diverge (p-série com ou integral divergente). - Portanto a convergência é condicional: a série converge, mas não converge absolutamente.
Força aí — você já matou a dúvida principal: ela converge, mas só condicionalmente. Lembra que se precisar eu mostro como estimar o erro ao truncar (usar
).
Resposta
A série
converge condicionalmente (converge, mas não absolutamente).