Teste a série para convergência ou divergência:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{\sqrt{k}}

Passo 1

O enunciado pede para testar se a série
\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{\sqrt{k}}
converge ou diverge. Informações dadas pelo enunciado:
  • Os termos gerais são a_k=\dfrac{(-1)^{k-1}}{\sqrt{k}}.
  • A parte magnitudinal (módulo) dos termos é b_k=\dfrac{1}{\sqrt{k}}, que é positiva para todo k\ge1.
  • A presença de (-1)^{k-1} faz os sinais dos termos alternarem: positivo, negativo, positivo, …

Passo 2

Vou verificar duas coisas importantes que aparecem frequentemente em testes de séries alternadas:
  1. Se os b_k são uma sequência positiva e monotonicamente decrescente (ou seja, b_{k+1}\le b_k a partir de algum k).
  2. Se \lim_{k\to\infty} b_k = 0.
Se ambos forem verdadeiros, a parte oscilante com sinais alternados tende a dar convergência (vou explicar isso em detalhe no próximo passo). Então primeiro analisamos b_k=\dfrac{1}{\sqrt{k}}.

Passo 3

Mostrando que b_k é decrescente para k\ge1.
Compare b_k e b_{k+1}:
b_{k+1}=\frac{1}{\sqrt{k+1}},\qquad b_k=\frac{1}{\sqrt{k}}.
Como \sqrt{k+1}>\sqrt{k} para todo k\ge1, temos
\frac{1}{\sqrt{k+1}}<\frac{1}{\sqrt{k}},
ou seja b_{k+1}<b_k. Portanto a sequência \{b_k\} é estritamente decrescente para todo k\ge1.
(Comentário rápido: outra forma é notar que a função f(x)=x^{-1/2} tem derivada negativa para x>0, logo decresce, mas a comparação direta entre k e k+1 já é suficiente.)

Passo 4

Mostrando que \lim_{k\to\infty} b_k = 0.
Temos
b_k=\frac{1}{\sqrt{k}}.
Quando k\to\infty, \sqrt{k}\to\infty, logo o quociente tende a 0. Formalmente,
\lim_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt{k}}=0.
Portanto a segunda condição (os termos vão a zero) também é satisfeita.

Passo 5

Explicação didática do motivo pelo qual as condições acima garantem convergência (intuição + enunciado do teste).
Intuição: para uma série com sinais alternados e termos positivos b_k decrescentes que vão a zero, as somas parciais formam dois subsequências (uma com S_{2n} e outra com S_{2n+1}) que são monotonicamente convergentes uma para cima e outra para baixo, e ambas ficam cada vez mais próximas porque os termos vão a zero. Isso garante que as somas parciais têm limite comum — a série converge.
Enunciado prático que usamos (forma usual do teste de Leibniz): se \{b_k\} satisfaz
  • b_k>0 para todo k,
  • b_{k+1}\le b_k a partir de algum k,
  • \lim_{k\to\infty} b_k=0,
    então a série \displaystyle \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} b_k converge.
Além disso, existe uma estimativa de erro útil: o resto R_n=\sum_{k=n+1}^{\infty}(-1)^{k-1}b_k satisfaz |R_n|\le b_{n+1}. Isso é prático na prova para limitar o erro ao truncar a série.

Passo 6

Aplicando o teste: já mostramos que b_k=\dfrac{1}{\sqrt{k}}>0, que b_{k+1}<b_k e que \lim_{k\to\infty} b_k=0. Portanto, pela condição descrita no passo anterior, a série
\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{\sqrt{k}}
converge.

Passo 7

Agora verificar convergência absoluta (para decidir se é convergência absoluta ou condicional).
A série de valores absolutos é
\sum_{k=1}^{\infty} |a_k|=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k}}.
Esta é uma série do tipo p-série com p=\tfrac{1}{2}, pois \dfrac{1}{\sqrt{k}}=\dfrac{1}{k^{1/2}}. Lembre-se do critério das p-séries: a série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^p} converge se, e somente se, p>1. Aqui p=\tfrac{1}{2}<1, então a p-série diverge.
Uma verificação alternativa e muito direta é usar o teste da integral: considere a função f(x)=x^{-1/2}, que é positiva e decrescente para x\ge1. Então
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\left[2\sqrt{x}\right]_{1}^{\infty}=\infty,
logo a série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{k}} diverge pelo teste da integral. Assim a série dos módulos diverge, portanto a série original não converge absolutamente.

Passo 8

Conclusão final (definições e interpretação):
  • A série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{\sqrt{k}} converge pelo teste para séries alternadas (condição: termos positivos decrescentes que vão a zero).
  • Entretanto a série dos valores absolutos \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k}} diverge (p-série com p=\tfrac{1}{2}<1 ou integral divergente).
  • Portanto a convergência é condicional: a série converge, mas não converge absolutamente.
Força aí — você já matou a dúvida principal: ela converge, mas só condicionalmente. Lembra que se precisar eu mostro como estimar o erro ao truncar (usar |R_n|\le b_{n+1}).

Resposta

A série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{\sqrt{k}} converge condicionalmente (converge, mas não absolutamente).

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