Questão 4: (1,5 pontos) Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por
T(x, y, z)=(3 x+y,-2 x-4 y+3 z, 5 x+4 y-2 z) .
Mostre que T é um isomorfismo e determine T^{-1}.

Passo 1

O enunciado define
T(x,y,z) = (\,3x + y,\,-2x -4y +3z,\;5x +4y -2z\,)
e pede para mostrar que T é um isomorfismo de \mathbb{R}^3 em si mesmo e encontrar T^{-1}.
O conteúdo principal aqui é teoria de transformações lineares: lembramos que T é isomorfismo se, e somente se, a matriz associada for invertível (determinante não nulo). Depois basta calcular essa inversa para obter T^{-1}.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}. Denotando
A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\\\ -2 & -4 & 3\\\\ 5 & 4 & -2 \end{pmatrix},
temos T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}. Agora calculamos \det(A).
\det(A) =3\det\begin{pmatrix}-4 & 3\\\ 4 & -2\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}-2 & 3\\\ 5 & -2\end{pmatrix} +0\cdot\bigl(\cdots\bigr).
\det\begin{pmatrix}-4 & 3\\\ 4 & -2\end{pmatrix} =(-4)(-2)-3\cdot4=8-12=-4,
\det\begin{pmatrix}-2 & 3\\\ 5 & -2\end{pmatrix} =(-2)(-2)-3\cdot5=4-15=-11.
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\det(A) =3\cdot(-4)\;-\;1\cdot(-11) =-12+11=-1\neq0.
Como \det(A)\neq0, a matriz A é invertível e, portanto, T é isomorfismo.

Passo 3

Para achar T^{-1} basta calcular A^{-1}. Usando a matriz dos cofatores e lembrando que
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A) \quad\text{e}\quad \det(A)=-1,
obtemos
\operatorname{adj}(A) =\begin{pmatrix} -4 & 2 & 3\\\\ 11 & -6 & -9\\\\ 12 & -7 & -10 \end{pmatrix},
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A^{-1} =-\,\operatorname{adj}(A) =\begin{pmatrix} 4 & -2 & -3\\\\ -11 & 6 & 9\\\\ -12 & 7 & 10 \end{pmatrix}.
Assim, se (u,v,w)=T(x,y,z), então
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =A^{-1}\begin{pmatrix}u\v\w\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4u-2v-3w\\\\ -11u+6v+9w\\\\ -12u+7v+10w \end{pmatrix}.

Resposta

T é um isomorfismo, pois a matriz associada tem \det=-1\neq0.
O inverso é
T^{-1}(u,v,w) =\bigl(4u-2v-3w,\,-11u+6v+9w,\,-12u+7v+10w\bigr).

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