Questão 3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma aplicação dada por T(x, y)=(-x+y, x-y, 2 x-2 y).
(a) (1,0 ponto) Mostre que T é uma transformação linear.
(b) ( 1,0 ponto) Determine o núcleo de T.

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3
definida por
T(x,y)=(-x+y,\;x-y,\;2x-2y).
Pede-se:
(a) mostrar que T é linear;
(b) determinar o núcleo de T.
Vamos usar a definição de transformação linear (preservação de soma e de multiplicação por escalar) e resolver um sistema para encontrar o núcleo.

Passo 2

Para verificar que T é linear, tomemos dois vetores \,u=(x_1,y_1), v=(x_2,y_2) em \mathbb{R}^2 e um escalar c\in\mathbb{R}.
  1. Soma:
T(u+v) =T\bigl((x_1+x_2,\;y_1+y_2)\bigr) =\bigl(-(x_1+x_2)+(y_1+y_2),\,(x_1+x_2)-(y_1+y_2),\,2(x_1+x_2)-2(y_1+y_2)\bigr)
\;=\bigl(-x_1+y_1,\;x_1-y_1,\;2x_1-2y_1\bigr) +\bigl(-x_2+y_2,\;x_2-y_2,\;2x_2-2y_2\bigr) =T(u)+T(v).
  1. Homogeneidade:
T(c\,u) =T(c x_1,\;c y_1) =\bigl(-(c x_1)+(c y_1),\,(c x_1)-(c y_1),\,2(c x_1)-2(c y_1)\bigr)
\;=c\,\bigl(-x_1+y_1,\;x_1-y_1,\;2x_1-2y_1\bigr) =c\,T(u).
Como T(u+v)=T(u)+T(v) e T(cu)=c\,T(u), concluímos que T é linear.

Passo 3

O núcleo de T\) é \[\ker(T)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid T(x,y)=(0,0,0)\}.
Essa condição leva ao sistema
\begin{cases} -x+y=0,\\\ x-y=0,\\\\ 2x-2y=0. \end{cases}
Todas as três equações são equivalentes à única condição (x=y]. Logo
\ker(T)=\{(x,x)\mid x\in\mathbb{R}\} =\mathrm{span}\{(1,1)\}.

Resposta

(a) T é linear, pois preserva soma e multiplicação por escalar.
(b) \displaystyle \ker(T)=\{(x,x)\mid x\in\mathbb{R}\}=\mathrm{span}\{(1,1)\}.

Exercícios relacionados