Questão 3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma aplicação dada por T(x, y)=(-x+y, x-y, 2 x-2 y).
(a) (1,0 ponto) Mostre que T é uma transformação linear.
(b) ( 1,0 ponto) Determine o núcleo de T.
Passo 1
O enunciado nos dá a aplicação
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3
definida por
T(x,y)=(-x+y,\;x-y,\;2x-2y).
Pede-se:
(a) mostrar que T é linear;
(b) determinar o núcleo de T.
Vamos usar a definição de transformação linear (preservação de soma e de multiplicação por escalar) e resolver um sistema para encontrar o núcleo.
Passo 2
Para verificar que T é linear, tomemos dois vetores \,u=(x_1,y_1), v=(x_2,y_2) em \mathbb{R}^2 e um escalar c\in\mathbb{R}.