Questão 5: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} um operador linear dado por T(x, y, z)=(x+2 y+z, 3 y+z,-z).
(a) ( 0,5 pontos) Determine [T].
(b) ( 0,5 pontos) Determine o polinômio característico de T.
(c) (0,5 pontos) Determine, caso existam, os autovalores de T.
(d) (0,5 pontos) Determine, caso existam, os autovetores de T.
(e) (0,5 pontos) T é diagonalizável? Se sim, exiba uma base \alpha de \mathbb{R}^{3} formada por autovetores e [T]_{\alpha}^{\alpha}.
e pede:
(a) a matriz de T na base canônica;
(b) o polinômio característico;
(c) os autovalores;
(d) os autovetores;
(e) verificar se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, dar uma base de autovetores e a matriz diagonal.
Passo 2
Para achar [T] na base canônica, calculamos T(e_i) para e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1):
Para cada autovalor resolvemos ([T]-\lambda I)v=0:
\lambda=1: [T]-I = \begin{pmatrix}0&2&1\\\ 0&2&1\\\ 0&0&-2\end{pmatrix}.
Da última linha vem z=0; da primeira, 2y+z=0\Rightarrow y=0. x fica livre, então
\lambda=-1: [T]+I = \begin{pmatrix}2&2&1\\\ 0&4&1\\\ 0&0&0\end{pmatrix}.
A segunda linha dá 4y+z=0\Rightarrow z=-4y; a primeira, 2x+2y+z=0\Rightarrow x=y.
Temos três autovalores distintos e cada um fornece um autovetor independente. Logo \dim E_1+\dim E_2+\dim E_3=3, o que implica que T é diagonalizável.
Uma possível base de autovetores é
(c) \lambda_1=1,\;\lambda_2=3,\;\lambda_3=-1.
(d) \displaystyle E_1=\operatorname{span}\{(1,0,0)\},\quad
E_2=\operatorname{span}\{(1,1,0)\},\quad
E_3=\operatorname{span}\{(1,1,-4)\}.
(e) Sim, é diagonalizável. Uma base de autovetores é \alpha=\{(1,0,0),\,(1,1,0),\,(1,1,-4)\}
e