questão (3,0 pontos)
Seja
a) Determine seus autovalores e autovetores.
b) Determine os polinômios característico e minimal.
c) é diagonalizável? Apresente a forma diagonal do operador em caso afirmativo. Justifique a sua resposta baseando-se nos resultados das letras “a” e “b”.
Passo 1
O enunciado define o operador linear
e pede:
– (a) autovalores e autovetores;
– (b) polinômio característico e minimal;
– (c) verificar se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, apresentar a forma diagonal.
Conteúdo: teoria de autovalores/autovetores, polinômios característico e minimal, critério de diagonalização.
Passo 2
Em base canônica, a matriz de é
que é triangular. Logo, seus autovalores são as entradas da diagonal:
Como, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica, o polinômio minimal tem raízes distintas e vale
muT(lambda)=(1-lambda)(2-lambda)
Passo 6
O operador T é diagonalizável porque, em cada autovalor, a dimensão do espaço próprio (2 para lambda=1 e 1 para lambda=2) soma-se a 3 e iguala a dimensão do espaço total. Em uma base de autovetores, a forma diagonal de T é
diag(1,1,2)
Resposta
(a) Autovalores: lambda=1 (mult.\ alg.\ 2), lambda=2 (mult.\ alg.\ 1).
Autovetores para lambda=1: todo (x,y,0), x,yinR.
Autovetor para lambda=2: múltiplos de (1,2,1).