2^a questão (3,0 pontos)
Seja T: R^3 R^3 ; T(x, y, z)=(x+z, y+2 z, 2 z)
a) (1,0) Determine seus autovalores e autovetores.
b) (1,0) Determine os polinômios característico e minimal.
c) (1,0) T é diagonalizável? Apresente a forma diagonal do operador T em caso afirmativo. Justifique a sua resposta baseando-se nos resultados das letras “a” e “b”.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
TcolonR^3toR^3, T(x,y,z)=(x+z,;y+2z,;2z),
e pede:
– (a) autovalores e autovetores;
– (b) polinômio característico e minimal;
– (c) verificar se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, apresentar a forma diagonal.
Conteúdo: teoria de autovalores/autovetores, polinômios característico e minimal, critério de diagonalização.

Passo 2

Em base canônica, a matriz de T é
A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 2 0 & 0 & 2 ,
que é triangular. Logo, seus autovalores são as entradas da diagonal:
lambda1 = 1(mu<iplicidade algébrica 2), lambda2 = 2(mu<iplicidade algébrica 1) éé

Passo 3

Para resolvemos , isto é
sem restrição em . Portanto o espaço próprio para é
de dimensão geométrica .

Passo 4

Para resolvemos , isto é
que dá e , com livre. Um vetorial próprio gerador é
Assim o espaço próprio para é unidimensional.

Passo 5

O polinômio característico é
chiT(lambda) =det(A-lambda I) =(1-lambda)^2,(2-lambda)
Como, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica, o polinômio minimal tem raízes distintas e vale
muT(lambda)=(1-lambda)(2-lambda)

Passo 6

O operador T é diagonalizável porque, em cada autovalor, a dimensão do espaço próprio (2 para lambda=1 e 1 para lambda=2) soma-se a 3 e iguala a dimensão do espaço total. Em uma base de autovetores, a forma diagonal de T é
diag(1,1,2)

Resposta

(a) Autovalores: lambda=1 (mult.\ alg.\ 2), lambda=2 (mult.\ alg.\ 1).
Autovetores para lambda=1: todo (x,y,0), x,yinR.
Autovetor para lambda=2: múltiplos de (1,2,1).
(b) chiT(lambda)=(1-lambda)^2(2-lambda), muT(lambda)=(1-lambda)(2-lambda).
(c) T é diagonalizável; forma diagonal diag(1,1,2).

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