3^a questão (3,0 pontos)
Seja T: R^3 R^3 ; T(x, y, z)=(2 x-raiz6 y,-raiz6 x+y,-3 z) com produto interno canônico.
a) (1,0) T é autoadjunto? T é ortogonal? Justifique.
b) (2,0) Exiba uma base de autovetores de T e verifique que é uma base ortogonal. A partir dessa base, escreva uma base ortonormal.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear
T:R^3toR^3, T(x,y,z)=(2x-raiz6,y,,-raiz6,x+y,,-3z)
com o produto interno canônico.
Na parte (a) pede-se verificar se T é autoadjunto e se é ortogonal.
Na parte (b) pede-se exibir uma base de autovetores de T, mostrar que ela é ortogonal e então normalizá-la.

Passo 2

Representamos T pela matriz na base canônica:
A= 2 & -raiz6 & 0 -raiz6 & 1 & 0 0 & 0 & -3
Como A^T=A, concluímos que T é autoadjunto.

Passo 3

Para ser ortogonal precisamos de A^TA=I. Basta notar que a primeira coluna de A tem norma
raiz2^2+(-raiz6)^2+0^2=raiz4+6=raiz10neq1,
logo A^TAneq I e T não é ortogonal.

Passo 4

Calculamos os autovalores:
– No eixo z,
T(0,0,1)=(0,0,-3)Longrightarrowlambda3=-3
– No subespaço xy, resolvemos
det2-lambda & -raiz6-raiz6 & 1-lambda=0 ;Longrightarrow;lambda^2-3lambda-4=0 ;Longrightarrow;lambda=3pm52,
ou seja lambda1=4 e lambda2=-1.

Passo 5

Autovetores correspondentes:
Para lambda1=4, da equação (-2)x-(raiz6)y=0 segue x=-tfracraiz62y. Tomamos
v1=l(-tfracraiz62,,1,,0r)
Para lambda2=-1, da equação 3x-raiz6,y=0 segue x=tfracraiz63y. Tomamos
v2=l(tfracraiz63,,1,,0r)
Para lambda3=-3 tomamos
v3=(0,0,1)
Verificamos
lang<= v1,v2rang<= =-tfracraiz62cdottfracraiz63+1cdot1 =-tfrac66+1=0,
e também lang<= vi,v3rang<==0. Logo v1,v2,v3 é base ortogonal de autovetores.

Passo 6

Agora normalizamos cada vi.
|v1|=raiztfrac64+1=tfracraiz102, |v2|=raiztfrac69+1=tfracraiz153, |v3|=1
Definimos então a base ortonormal
e1=v1|v1| =l(-tfracraiz6raiz10,,tfrac2raiz10,,0r), e2=v2|v2| =l(tfracraiz6raiz15,,tfrac3raiz15,,0r), e3=(0,0,1)

Resposta

a) T é autoadjunto (matriz simétrica) e não é ortogonal ( A^TAneq I).
b) Uma base ortogonal de autovetores é
l,(-tfracraiz62,1,0),;(tfracraiz63,1,0),;(0,0,1)r,
e uma base ortonormal correspondente é
l; (-tfracraiz6raiz10,tfrac2raiz10,0),; (tfracraiz6raiz15,tfrac3raiz15,0),; (0,0,1)r

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