Questão 7. (2,0 pontos) A conversão de ciclopropano a propeno na fase gasosa e uma reação de primeira ordem com uma constante de velocidade de 6,7 \times 10-4 s -1 a 500^{\circ} \mathrm{C}. Responda:
(d) Qual seria o tempo de meia vida se a reação fosse de primeira ordem?

Passo 1

O enunciado dá que a reação é de primeira ordem com constante de velocidade k = 6{,}7\times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1} à temperatura de 500^\circ\mathrm{C}. A pergunta (d) é: qual seria o tempo de meia-vida se a reação fosse de primeira ordem?
Informações relevantes listadas: k = 6{,}7\times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}. Pede-se t_{1/2}, o tempo em que a concentração do reagente cai para metade do valor inicial.

Passo 2

Explicação do conceito e derivação da fórmula do tempo de meia-vida para reação de primeira ordem.
Definição: para uma reação de primeira ordem a lei de velocidade diferencial é
-\frac{d[A]}{dt} = k\,[A],
onde [A] é a concentração do reagente em função do tempo t e k é a constante de velocidade (unidade \mathrm{s}^{-1}). Essa equação diz que a velocidade de consumo de A é proporcional à sua própria concentração.
Para resolver, separamos variáveis e integramos. Primeiro escrevemos
\frac{d[A]}{[A]} = -k\,dt.
Agora integramos dos instantes iniciais até t: integrar [A] de [A]_0 até [A](t) e t de 0 até t. Isso dá
\int_{[A]_0}^{[A](t)} \frac{d[A]}{[A]} = -\int_{0}^{t} k\,dt.
A integral do lado esquerdo dá \ln\!\big(\tfrac{[A](t)}{[A]_0}\big) e a do lado direito dá -kt. Assim obtemos a forma integrada:
\ln\!\left(\frac{[A](t)}{[A]_0}\right) = -kt.
O tempo de meia-vida t_{1/2} é o tempo para [A](t_{1/2}) = \tfrac{[A]_0}{2}. Substituindo isso na equação integrada:
\ln\!\left(\frac{[A]_0/2}{[A]_0}\right) = \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -kt_{1/2}.
Sabendo que \ln(\tfrac{1}{2}) = -\ln 2, rearranjamos para obter a fórmula conhecida:
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.
Comentário sobre unidades: \ln 2 é adimensional, então t_{1/2} tem as mesmas unidades de 1/k, aqui segundos ( \mathrm{s}).

Passo 3

Aplicando a fórmula com o valor dado de k.
Escrevemos
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k} = \frac{\ln 2}{6{,}7\times10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}}.
Usamos \ln 2 \approx 0{,}6931. Portanto
t_{1/2} \approx \frac{0{,}6931}{6{,}7\times10^{-4}}.
Para calcular sem perder o raciocínio: divida 0{,}6931 por 6{,}7 e depois multiplique por 10^{4} (porque dividir por 6{,}7\times10^{-4} é o mesmo que dividir por 6{,}7 e multiplicar por 10^{4}):
\frac{0{,}6931}{6{,}7} \approx 0{,}1034,
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t_{1/2} \approx 0{,}1034\times10^{4}\,\mathrm{s} = 1{,}034\times10^{3}\,\mathrm{s}.
Convertendo para minutos (dividindo por 60):
t_{1/2} \approx \frac{1{,}034\times10^{3}}{60}\,\mathrm{min} \approx 17{,}2\,\mathrm{min}.

Passo 4

Interpretação e dica prática: o resultado significa que, sob as condições dadas, a cada aproximadamente 17{,}2 minutos a concentração de ciclopropano cai pela metade. Na prova, basta lembrar da fórmula t_{1/2}=\ln 2/k, substituir k e fazer a divisão; se o enunciado dá k em \mathrm{s}^{-1}, deixe o resultado em segundos ou converta para minutos se preferir.

Resposta

t_{1/2} \approx 1{,}03\times10^{3}\,\mathrm{s} \approx 17{,}2\,\mathrm{min}

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