Questão 3 (2,0 pontos)
Uma corda de comprimento total 3,0 \mathrm{~m} e massa 12,0 \mathrm{~g} está esticada horizontalmente sob uma tração de 48 N . Um oscilador produz na corda uma onda transversal senoidal de amplitude 4,0 \mathrm{~mm} e frequência 80 Hz , propagando-se no sentido positivo do eixo x.
Determine:
d) os valores de k e \omega;

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou escrever todos os números e unidades exatamente como foram fornecidos):
  • comprimento total da corda: L=3,0\\ \mathrm{m};
  • massa da corda: m=12,0\\ \mathrm{g}=0,012\\ \mathrm{kg};
  • tensão na corda: T=48\\ \mathrm{N};
  • amplitude da onda: A=4,0\\ \mathrm{mm}=0,004\\ \mathrm{m} (informação de amplitude fornecida, mas não necessária para k e \omega);
  • frequência: f=80\\ \mathrm{Hz};
  • a onda é transversal e se propaga no sentido positivo de x.
O que se pede neste item:
  • determinar o número de onda k;
  • determinar a pulsação (frequência angular) \omega.

Passo 2

Calculando a massa por unidade de comprimento (densidade linear) da corda, que é necessária para achar a velocidade de propagação da onda.
Explicação do conceito: a densidade linear \mu diz quanta massa há por metro de corda; é importante porque uma corda mais pesada (maior \mu) oscila mais devagar para a mesma tensão.
Fórmula e cálculo:
\mu=\dfrac{m}{L}.
Substituindo os valores:
\mu=\dfrac{0,012}{3,0}=0,004\\ \mathrm{kg/m}.

Passo 3

A velocidade de propagação de uma onda transversal numa corda tensa é dada por
v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}},
onde T é a tensão (em newtons) e \mu é a densidade linear (em \mathrm{kg/m}). Explicação curta: a tensão fornece a “força restauradora” enquanto \mu representa a inércia por comprimento; a razão T/\mu controla quão rápido a perturbação corre pela corda.
Cálculo numérico:
v=\sqrt{\dfrac{48}{0,004}}=\sqrt{12000}=109,5445115\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
v\approx 109,54\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora achamos o comprimento de onda \lambda. Relação básica entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
v=\lambda f \quad\Rightarrow\quad \lambda=\dfrac{v}{f}.
Substituindo:
\lambda=\dfrac{109,5445115}{80}=1,3693063938\\ \mathrm{m}.
Arredondando:
\lambda\approx 1,3693\\ \mathrm{m}\\ (\text{ou }1,37\\ \mathrm{m}\text{ com duas casas}).

Passo 5

Definição do número de onda k: é a medida de quantas “radianos de fase” cabem por metro, e tem a fórmula
k=\dfrac{2\pi}{\lambda}.
Explicação: enquanto \lambda é o comprimento em metros de um ciclo da onda, k mede a variação de fase por unidade de comprimento (unidade: \mathrm{rad/m}).
Cálculo usando \lambda encontrado:
k=\dfrac{2\pi}{1,3693063938} \approx 4,590210\\ \mathrm{rad/m}.
Arredondando:
k\approx 4,59\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 6

Definição da pulsação (frequência angular) \omega: relaciona a frequência temporal f com radianos por segundo,
\omega=2\pi f.
Explicação: f conta ciclos por segundo (Hz); \omega conta radianos de fase por segundo (rad/s), e 2\pi rad correspondem a um ciclo completo.
Cálculo:
\omega=2\pi\cdot 80=160\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 502,6548246\\ \mathrm{rad/s}.
Arredondando:
\omega\approx 502,65\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Resumo dos valores com indicação das formas exatas quando cabível:
  • k\approx 4,59\\ \mathrm{rad/m} (valor numérico);
  • \omega=160\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 502,65\\ \mathrm{rad/s}.

Resposta

k=4,59\\ \mathrm{rad/m}
\omega=160\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 502,65\\ \mathrm{rad/s}

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