Questão 3 (2,0 pontos)
Uma corda de comprimento total 3,0 \mathrm{~m} e massa 12,0 \mathrm{~g} está esticada horizontalmente sob uma tração de 48 N . Um oscilador produz na corda uma onda transversal senoidal de amplitude 4,0 \mathrm{~mm} e frequência 80 Hz , propagando-se no sentido positivo do eixo x.
Determine:
c) o comprimento de onda;

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados:
  • comprimento total da corda: L=3,0\\ \mathrm{m};
  • massa da corda: m=12,0\\ \mathrm{g} (vai-se converter para kg);
  • tensão na corda: T=48\\ \mathrm{N};
  • amplitude da onda: A=4,0\\ \mathrm{mm} (não é necessária para o comprimento de onda, apenas para a forma);
  • frequência da onda: f=80\\ \mathrm{Hz};
  • a onda é senoidal e se propaga no sentido positivo de x.
O que se pede:
  • (c) determinar o comprimento de onda \lambda.

Passo 2

Primeiro calcular a densidade linear de massa \mu (massa por unidade de comprimento), que é necessária para encontrar a velocidade de propagação. Converter a massa para quilograma:
m=12,0\\ \mathrm{g}=0,012\\ \mathrm{kg}.
A densidade linear é
\mu=\frac{m}{L}=\frac{0,012}{3,0}=0,004\\ \mathrm{kg/m}.
Explicação curta: \mu diz quanto de massa existe em cada metro da corda; quanto maior \mu, mais lenta tende a ser a onda.

Passo 3

Usar a fórmula da velocidade de uma onda transversal numa corda tensa:
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde v é a velocidade de propagação (em \mathrm{m/s}), T é a tensão (em \mathrm{N}) e \mu é a densidade linear (em \mathrm{kg/m}). Intuição: aumentar a tensão torna a corda “mais rígida” e aumenta v; aumentar a massa por metro diminui v.
Substituindo os valores:
v=\sqrt{\frac{48}{0,004}}=\sqrt{12000}\approx109{,}5445\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora usar a relação fundamental entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
v=\lambda f.
Desse modo,
\lambda=\frac{v}{f}.
Substituindo v e f:
\lambda=\frac{109{,}5445}{80}\approx1{,}3693\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma compatível com os dados (duas casas significativas nos dados iniciais: 3,0\\ \mathrm{m}, 12,0\\ \mathrm{g}), fica
\lambda\approx1{,}37\\ \mathrm{m}.

Resposta

\lambda=1{,}37\\ \mathrm{m}

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