1^a Questão) (3,0 pontos) Um corpo apresenta, em um dado referencial inercial (denotado por [O ; x, y, z] ), vetor-aceleração com a seguinte dependência temporal: a(t)=(-cos (6 t) i-3 t^2 j+4 t k) m / s^2. Registrou-se, ainda, para este corpo, que, no instante inicial de sua observação, t0=0 s, o mesmo apresentava vetor-velocidade dado por v(0)=(+1+3 k) m / s. A partir destas informações, encontre, justificando devidamente suas respostas:
i) o vetor-velocidade do corpo em função do tempo, v(t);
ii) os vetores velocidade e aceleração (funções do tempo) que um outro observador/referencial, [O^prime ; x^prime y^prime z^prime], atribui ao movimento acima, sabendo que O^prime move-se em relação a O com velocidade V=[2 k] m / s.
iii) Se, no instante inicial de sua observação, t 0=0 s, o corpo apresentava localização, no referencial original (“sem linha”), representada pelo vetor-posição r(0)=(-1+3 k) m, encontre o vetor-posição do corpo em função do tempo, r(t).

Passo 1

O enunciado nos dá a aceleração de um corpo, num referencial O, como função do tempo:
a(t) = l(-cos(6t),i - 3t^2,j + 4t,kr) m/s^2,
e a velocidade inicial
v(0)=i + 3,k m/s
Pede-se:
i) v(t) integrando a(t);
ii) o que outro observador O', que se move em relação a O com V=2,k, mede como v'(t) e a'(t);
iii) integrando v(t) com r(0)= -,i + 3,k, achar r(t).

Passo 2

Para achar v(t) integramos componente a componente e aplicamos as condições iniciais:
- Componente x:
integral -cos(6t),dt = -16sin(6t) + Cx.
Como vx(0)=1 e sin0=0, segue Cx=1.
Logo
vx(t) = 1 - 16sin(6t)
- Componente y:
integral -3t^2,dt = -t^3 + Cy.
Como vy(0)=0, Cy=0.
Logo
vy(t) = -t^3
- Componente z:
integral 4t,dt = 2t^2 + Cz.
Como vz(0)=3, Cz=3.
Logo
vz(t) = 2t^2 + 3
Portanto
v(t) = l(1 - tfrac16sin(6t)r)i ;-; t^3,j ;+;l(2t^2+3r)k

Passo 3

Um observador O' que se move com velocidade constante V=2,k em relação a O mede
v'(t)=v(t)-V e a'(t)=a(t),
pois a aceleração é invariante frente a velocidade relativa constante. Logo
v'(t)=l(1 - tfrac16sin(6t)r)i - t^3,j + l(2t^2+3-2r)k =l(1 - tfrac16sin(6t)r)i - t^3,j + l(2t^2+1r)k,
a'(t)=l(-cos(6t),i - 3t^2,j + 4t,kr)

Passo 4

Para obter r(t) integramos v(t) e usamos r(0)=-i+3,k:
- Componente x:
integrall(1-tfrac16sin(6t)r)dt = t + tfrac136cos(6t) + Cx.
Como rx(0)=-1 e cos0=1, Cx=-1-tfrac136=-tfrac3736.
Logo
rx(t)=t + tfrac136cos(6t) - tfrac3736
- Componente y:
integral(-t^3),dt = -tfract^44 + Cy.
Como ry(0)=0, Cy=0.
Logo
ry(t) = -tfract^44
- Componente z:
integral(2t^2+3),dt = tfrac23t^3 + 3t + Cz.
Como rz(0)=3, Cz=3.
Logo
rz(t)=tfrac23t^3 + 3t + 3
Portanto
r(t) =l(t + tfrac136cos(6t) - tfrac3736r)i -tfract^44,j +l(tfrac23t^3+3t+3r)k

Resposta

i)
v(t) =l(1 - tfrac16sin(6t)r)i - t^3,j + l(2t^2+3r)k
ii)
v'(t) =l(1 - tfrac16sin(6t)r)i - t^3,j + l(2t^2+1r)k, a'(t) =l(-cos(6t),i - 3t^2,j + 4t,kr)
iii)
r(t) =l(t + tfrac136cos(6t) - tfrac3736r)i -tfract^44,j +l(tfrac23t^3+3t+3r)k

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