Uma bala de canhão é disparada da origem do sistema de coordenadas com uma velocidade inicial de módulo v0, em uma direção que faz um ângulo theta com a horizontal. Considere que este corpo está sujeito a força de resistência do ar linear F=-b v, além da força peso. Determine:
  • (a) O vetor velocidade v(t) da bala de canhão.
  • (b) O vetor posição r(t) da bala de canhão.

Passo 1

O enunciado descreve um projétil lançado da origem com velocidade inicial de módulo v0 e ângulo theta sobre a horizontal, sofrendo peso vec P=mvec g e resistência do ar linear vec Fr=-bvec v. O que precisamos fazer é resolver as equações de movimento
mdvec vdt=-bvec v + mvec g
decompondo em componentes x e y.

Passo 2

Na direção x a única força é a resistência do ar, logo
mdvxdt=-b,vx Longrightarrow dvxdt + bmvx=0
Isso é uma EDO linear homogênea cuja solução usando vx(0)=v0costheta é
vx(t)=v0costheta;e^-tfracbmt

Passo 3

Na direção y temos peso e arrasto, pois
mdvydt=-b,vy-m g Longrightarrow dvydt+bmvy=-g
Use fator integrante e^tfracbmt:
ddtl(vye^tfracbmtr)=-g,e^tfracbmt
Integre de 0 a t e impõe vy(0)=v0sintheta. O resultado é
vy(t) =l(v0sintheta + gmbr)e^-tfracbmt -gmb

Passo 4

Para obter vec r(t) basta integrar cada componente de vec v(t) com a condição vec r(0)=vec0:
  1. Componente x:
x(t)=integral0^tvx(t'),dt' =v0costhetaintegral0^te^-tfracbmt'dt' =m v0costhetabl(1-e^-tfracbmtr)
  1. Componente y:
y(t)=integral0^tvy(t'),dt' =integral0^tl[(v0sintheta+tfracgmb)e^-tfracbmt'-tfracgmbr]dt'
Fazendo a integral dá
y(t) =mbl(v0sintheta+gmbr)l(1-e^-tfracbmtr) -gmb,t

Resposta

vec v(t) =v0costheta,e^-tfracbmt,hat i +l[l(v0sintheta+tfracgmbr)e^-tfracbmt -tfracgmbr]hat j
vec r(t) =m v0costhetabl(1-e^-tfracbmtr)hat i +l[mbl(v0sintheta+tfracgmbr)l(1-e^-tfracbmtr) -gmb,tr]hat j

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