(1,0) Seja theta in R fixado. Denotamos por Ttheta o operador linear sobre R^3 que geometricamente representa uma rotação de um ângulo theta em torno do eixo Z no sentido anti-horário.
(a) Encontre a matriz que representa Ttheta na base canônica do R^3.
(b) Para cada R in R, considere CR=(x, y, z) in R^3 ; x=R cos alpha e y=R sen alpha, z, alpha in R. Mostre que Ttheta(CR) subset CR.
(c) Calcule os autovetores de Ttheta, mesmo sendo estes complexos.
(d) Mostre que o único theta in(0,2 pi) tal que todos os autovalores de Ttheta são reais é theta=pi. Calcule os autoespaços associados aos autovalores de Tpi e verifique que um deles é o cilindro C0.

Passo 1

O enunciado trata de Ttheta, operador linear em R^3 que faz rotação de ângulo theta em torno do eixo Z. Vamos precisar de:
  1. Conhecer a representação matricial de rotações em coordenadas canônicas.
  2. Verificar invariância de conjuntos cilíndricos CR.
  3. Calcular autovalores e autovetores de uma matriz de rotação (mesmo complexos).
  4. Determinar para quais theta esses autovalores são todos reais e, no caso theta=pi, descrever os autoespaços e identificar o cilindro C0.

Passo 2

Para achar a matriz de Ttheta na base canônica ex,ey,ez, observe que a rotação age apenas no plano xy e deixa z fixo. Logo, em bloco diagonal:
Ttheta ;long<=ftrightarrow; costheta & -sintheta & 0 sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

Dado CR=(x,y,z):x=Rcosalpha,;y=Rsinalpha,;zinR,;alphainR, ao aplicar Ttheta temos
(x',y',z') = R(cos(alpha+theta),,sin(alpha+theta),,z),
que ainda satisfaz x'^2+y'^2=R^2. Logo (x',y',z')in CR e
Ttheta(CR)subset CR

Passo 4

A matriz tem o bloco de rotação no plano e no eixo . Seus autovalores são
Os autovetores (em ) são:

Passo 5

Para que todos os lambdak sejam reais, é necessário sintheta=0 (para anular parte imaginária de e^pm itheta). No intervalo (0,2pi) a única solução é theta=pi. Então lambda1=lambda2=-1 e lambda3=1.

Passo 6

Em theta=pi a matriz é
-1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1
O autoespaço para lambda3=1 é (0,0,z), que é exatamente C0. O autoespaço para lambda1=lambda2=-1 é o plano z=0, ou seja (x,y,0).

Resposta

(a) costheta & -sintheta & 0 sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1
(b) Ttheta(CR)subset CR porque a rotação apenas soma theta ao ângulo polar, preservando R.
(c) Autovalores lambda=e^pm itheta,1 com autovetores
l(1,-i,0r)^T,;(1,i,0)^T,;(0,0,1)^T.
(d) Só em theta=pi todos os autovalores ( -1,-1,1) são reais.
O autoespaço para -1 é (x,y,0) e para 1 é (0,0,z)=C0.

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