(1,0) Seja fixado. Denotamos por o operador linear sobre que geometricamente representa uma rotação de um ângulo em torno do eixo no sentido anti-horário.
(a) Encontre a matriz que representa na base canônica do .
(b) Para cada , considere e . Mostre que .
(c) Calcule os autovetores de , mesmo sendo estes complexos.
(d) Mostre que o único tal que todos os autovalores de são reais é . Calcule os autoespaços associados aos autovalores de e verifique que um deles é o cilindro .
Passo 1
O enunciado trata de , operador linear em que faz rotação de ângulo em torno do eixo . Vamos precisar de:
Conhecer a representação matricial de rotações em coordenadas canônicas.
Verificar invariância de conjuntos cilíndricos .
Calcular autovalores e autovetores de uma matriz de rotação (mesmo complexos).
Determinar para quais esses autovalores são todos reais e, no caso , descrever os autoespaços e identificar o cilindro .
Passo 2
Para achar a matriz de na base canônica , observe que a rotação age apenas no plano e deixa fixo. Logo, em bloco diagonal:
Passo 3
Dado CR=(x,y,z):x=Rcosalpha,;y=Rsinalpha,;zinR,;alphainR, ao aplicar Ttheta temos
que ainda satisfaz x'^2+y'^2=R^2. Logo (x',y',z')in CR e
Ttheta(CR)subset CR
Passo 4
A matriz tem o bloco de rotação no plano e no eixo . Seus autovalores são
Os autovetores (em ) são:
Passo 5
Para que todos os lambdak sejam reais, é necessário sintheta=0 (para anular parte imaginária de e^pm itheta). No intervalo (0,2pi) a única solução é theta=pi. Então lambda1=lambda2=-1 e lambda3=1.
Passo 6
Em theta=pi a matriz é
-1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1
O autoespaço para lambda3=1 é (0,0,z), que é exatamente C0. O autoespaço para lambda1=lambda2=-1 é o plano z=0, ou seja (x,y,0).
(b) Ttheta(CR)subset CR porque a rotação apenas soma theta ao ângulo polar, preservando R.
(c) Autovalores lambda=e^pm itheta,1 com autovetores l(1,-i,0r)^T,;(1,i,0)^T,;(0,0,1)^T.
(d) Só em theta=pi todos os autovalores (-1,-1,1) são reais.
O autoespaço para -1 é (x,y,0) e para 1 é (0,0,z)=C0.