Questão 5 (2,5 pontos)

Dada
f(x, y)=x e^{x y},
analise conceitualmente o plano tangente no ponto ( 2,0 ), interpretando geometricamente o papel de x y.
Calcule o plano tangente.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x e^{x y}
e o ponto (2,0). Pede duas coisas:
  • uma análise conceitual do plano tangente no ponto (2,0), interpretando geometricamente o papel de x y;
  • o cálculo do plano tangente (equação do plano).
As informações relevantes fornecidas são somente a expressão de f e as coordenadas do ponto onde se quer o plano tangente.

Passo 2

Primeiro valor da função no ponto: calcular f(2,0).
f(2,0)=2\;e^{2\cdot 0}=2\;e^{0}=2\cdot 1=2.
Isto significa que o ponto da superfície é (x,y,z)=(2,0,2).

Passo 3

Para obter o plano tangente precisamos das derivadas parciais de f em relação a x e a y. Vou explicar passo a passo como calcular cada uma.
Regra usada 1 — regra do produto: se g(x)=u(x)\,v(x) então g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Regra usada 2 — regra da cadeia: se h(x)=e^{\varphi(x)} então h'(x)=\varphi'(x)\,e^{\varphi(x)}.
Aplicando isso a f(x,y)=x\cdot e^{x y}:
Derivada parcial em relação a x: trate y como constante e use produto + cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(x\big)\,e^{x y} + x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x y}\big).
A primeira parcela é 1\cdot e^{x y}=e^{x y}. A segunda usa cadeia: \frac{\partial}{\partial x}e^{x y}=y\,e^{x y}. Assim
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{x y}+x\cdot\big(y\,e^{x y}\big)=e^{x y}\big(1+ x y\big).
Derivada parcial em relação a y: trate x como constante; aqui aparece só a cadeia em e^{x y}:
\frac{\partial f}{\partial y} = x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x y}\big)=x\cdot\big(x\,e^{x y}\big)=x^{2} e^{x y}.

Passo 4

Agora avalio as derivadas no ponto (2,0).
\frac{\partial f}{\partial x}(2,0)=e^{2\cdot 0}\big(1+2\cdot 0\big)=e^{0}\cdot 1=1.
\frac{\partial f}{\partial y}(2,0)=2^{2} e^{2\cdot 0}=4\cdot e^{0}=4.
Interpretação numérica rápida: perto de (2,0), uma variação unitária em x (com y fixo) eleva z em aproximadamente 1; uma variação unitária em y (com x fixo) eleva z em aproximadamente 4.

Passo 5

Fórmula do plano tangente / linearização em (a,b)=(2,0):
L(x,y)=f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\,(x-a)+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\,(y-b).
Substituindo os valores que já calculamos:
L(x,y)=2 + 1\cdot (x-2) + 4\cdot (y-0).
Esta é a forma linearizada (equação do plano) centrada em (2,0,2). (A simplificação final será apresentada na seção de resposta.)

Passo 6

Interpretação geométrica do papel de x y:
  • O termo x y aparece no expoente e^{x y}. Isso significa que o valor de f não depende apenas de x e de y separadamente, mas do produto x y: pequenas mudanças em y têm efeito multiplicativo que depende também do valor de x, e vice-versa — há acoplamento entre as direções.
  • No ponto (2,0) temos x y=2\cdot 0=0, então e^{x y}=1 ali. Por isso, exatamente nesse ponto a superfície tem valor f=x (pois f=x\cdot 1), e a componente e^{x y} não altera o valor instantâneo. Entretanto, o efeito do expoente aparece nas derivadas: por exemplo \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2} e^{x y} mostra que a sensibilidade a y cresce com x^{2}. Em (2,0) isso dá 4, que é maior que a sensibilidade a x (que é 1).
  • Intuição prática: mover-se um pouco na direção y muda o expoente em \Delta(x y)=x\,\Delta y; para x grande esse \Delta(x y) é maior, fazendo e^{x y} variar mais e multiplicando x. Por isso, embora e^{x y}=1 exatamente em y=0, a inclinação em y pode ser grande se x for grande (aqui x=2 dá inclinação 4).
Exemplo numérico rápido (aproximação linear): se a partir de (2,0) você aumentar y em 0,1, a mudança aproximada em z é \Delta z\approx 4\cdot 0,1=0,4. Se aumentar x em 0,1 (com y ainda ~0), \Delta z\approx 1\cdot 0,1=0,1. Isso mostra concretamente a diferença de sensibilidade causada pelo termo x y.
Força final de incentivo: concentre-se em calcular f(a,b) e as derivadas parciais no ponto — com esses três números você monta o plano tangente rápido na prova. Você está no caminho certo!

Resposta

z = x + 4y

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