Questão 5 (2,5 pontos)
Dada
analise conceitualmente o plano tangente no ponto ( 2,0 ), interpretando geometricamente o papel de
.
Calcule o plano tangente.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. Pede duas coisas:
- uma análise conceitual do plano tangente no ponto
, interpretando geometricamente o papel de ; - o cálculo do plano tangente (equação do plano).
As informações relevantes fornecidas são somente a expressão de
e as coordenadas do ponto onde se quer o plano tangente.
Passo 2
Primeiro valor da função no ponto: calcular
.
Isto significa que o ponto da superfície é
.
Passo 3
Para obter o plano tangente precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e a
. Vou explicar passo a passo como calcular cada uma.
Regra usada 1 — regra do produto: se
então
.
Regra usada 2 — regra da cadeia: se
então
.
Aplicando isso a
:
Derivada parcial em relação a
: trate
como constante e use produto + cadeia:
A primeira parcela é
. A segunda usa cadeia:
. Assim
Derivada parcial em relação a
: trate
como constante; aqui aparece só a cadeia em
:
Passo 4
Agora avalio as derivadas no ponto
.
Interpretação numérica rápida: perto de
, uma variação unitária em
(com
fixo) eleva
em aproximadamente
; uma variação unitária em
(com
fixo) eleva
em aproximadamente
.
Passo 5
Fórmula do plano tangente / linearização em
:
Substituindo os valores que já calculamos:
Esta é a forma linearizada (equação do plano) centrada em
. (A simplificação final será apresentada na seção de resposta.)
Passo 6
Interpretação geométrica do papel de
:
- O termo
aparece no expoente . Isso significa que o valor de não depende apenas de e de separadamente, mas do produto : pequenas mudanças em têm efeito multiplicativo que depende também do valor de , e vice-versa — há acoplamento entre as direções. - No ponto
temos , então ali. Por isso, exatamente nesse ponto a superfície tem valor (pois ), e a componente não altera o valor instantâneo. Entretanto, o efeito do expoente aparece nas derivadas: por exemplo mostra que a sensibilidade a cresce com . Em isso dá , que é maior que a sensibilidade a (que é ). - Intuição prática: mover-se um pouco na direção
muda o expoente em ; para grande esse é maior, fazendo variar mais e multiplicando . Por isso, embora exatamente em , a inclinação em pode ser grande se for grande (aqui dá inclinação ).
Exemplo numérico rápido (aproximação linear): se a partir de
você aumentar
em
, a mudança aproximada em
é
. Se aumentar
em
(com
ainda ~0),
. Isso mostra concretamente a diferença de sensibilidade causada pelo termo
.
Força final de incentivo: concentre-se em calcular
e as derivadas parciais no ponto — com esses três números você monta o plano tangente rápido na prova. Você está no caminho certo!