Questão 2 (2,5 pontos)

É dada uma onda plana caracterizada por um Ex, By, propagando-se no sentido positivo de z,
E=i E0 sen[2 pi(z-c t) / lambda]
Demonstre que é possível tomar o potencial escalar phi=0 e encontre um potencial vetor A possível que satisfaça a condição de Lorentz.

Passo 1

O enunciado dá uma onda plana que se propaga no sentido positivo de z com
E = hatimath,E0sin!l[2pi(z - c t)/lambdar]
e B ao longo de y. Queremos usar potenciais phi e A no calibre de Lorentz, que impõe
nablacdotA + 1c^2,partial phipartial t = 0,
mostrar que podemos tomar phi=0 e achar um vetor-potencial A compatível.

Passo 2

Lembramos as relações entre campos e potenciais:
E = -nablaphi - partial Apartial t, B = nabla times A,
e o calibre de Lorentz
nablacdotA + 1c^2,partial phipartial t = 0

Passo 3

Tomamos phi=0. Então a condição de Lorentz reduz-se a
nablacdotA=0
Como E está na direção x e depende apenas de z-ct, fazemos
A = hatimath,Fl(z - c tr)
Aqui nablacdotA = partial Ax/partial x = 0, já que Ax não depende de x. Assim satisfazemos o calibre.

Passo 4

Para determinar F, usamos
E = -partial Apartial t = -hatimath,F'l(z-c tr),partial (z-ct)partial t = hatimath,c,F'l(z-c tr)
Queremos isso igual a hatimath,E0sin[k(z-ct)], com k = 2pi/lambda. Logo
c,F'(s) = E0sin(ks) Longrightarrow F(s) = E0c,k,l(-cos(ks)r)
(mais constante de integração que podemos pôr zero). Como omega = k,c, escrevemos
F(s) = E0omega,cos(ks)
Portanto
A = hatimath,E0omega,cos!l[k(z - c t)r]

Resposta

phi = 0
A = hatimath,E0omega, cos!gl(2pilambda,(z - c t)gr),
com omega = 2pi c/lambda, satisfazendo nablacdotA=0 e reproduzindo
E = -partialA/partial t.

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