Questão 4 (2,0 pontos)
Dado o problema não homogêneo
ut=ux x+2, 0<x<1, t>0 u(0, t)=2, t>0 u(1, t)=5, t>0 u(x, 0)=f(x) 0<x<1
(a) Determine a temperatura em regime estacionário, w(x), função que depende somente de x, que satisfaz a equação diferencial e as condições de fronteira (isto é, a temperatura de regime estacionário correspondendo às condições de fronteira dadas).
(b) Determine o problema de contorno homogêneo que satisfaz a função v(x, t)=u(x, t)-w(x)

Passo 1

O enunciado define o problema de calor não homogêneo
ut=ux x+2, 0<x<1,;t>0
com condições de contorno
u(0,t)=2, u(1,t)=5, t>0
e condição inicial u(x,0)=f(x).
Precisamos (a) achar a solução em regime estacionário w(x) que satisfaz
w''(x)+2=0, w(0)=2,;w(1)=5
e (b) definir v(x,t)=u(x,t)-w(x) para obter um problema de contorno homogêneo.

Passo 2

Resolva a ODE de regime estacionário
w''(x)+2=0
Integramos uma vez para obter
w'(x)=-2x+C1,
e integramos de novo para achar
w(x)=-x^2+C1x+C2

Passo 3

Aplique as condições de contorno em w(x):
em x=0 temos w(0)=C2=2,
em x=1 temos
w(1)=-1+C1+2=C1+1=5Longrightarrow C1=4
Logo
w(x)=-x^2+4x+2

Passo 4

Defina a função de correção
v(x,t)=u(x,t)-w(x)
Então
vt=ut-0=(uxx+2)-w''=vxx,
isto é, v satisfaz a equação do calor homogênea
vt=vxx, 0<x<1,;t>0,
com condições de contorno homogêneas
v(0,t)=u(0,t)-w(0)=2-2=0, v(1,t)=u(1,t)-w(1)=5-5=0
e condição inicial
v(x,0)=u(x,0)-w(x)=f(x)-l(-x^2+4x+2r)

Resposta

(a) w(x)=-x^2+4x+2
(b) O problema homogêneo para v(x,t) é
vt=vxx,&0<x<1,;t>0, v(0,t)=0,;v(1,t)=0,&t>0, v(x,0)=f(x)-l(-x^2+4x+2r),&0<x<1

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