Questão 4 (2,0 pontos)
Dado o problema não homogêneo
(a) Determine a temperatura em regime estacionário,
, função que depende somente de
, que satisfaz a equação diferencial e as condições de fronteira (isto é, a temperatura de regime estacionário correspondendo às condições de fronteira dadas).
(b) Determine o problema de contorno homogêneo que satisfaz a função
Dado o problema não homogêneo
(b) Determine o problema de contorno homogêneo que satisfaz a função
Passo 1
O enunciado define o problema de calor não homogêneo
com condições de contorno
e condição inicial
.
Precisamos (a) achar a solução em regime estacionário que satisfaz
Precisamos (a) achar a solução em regime estacionário
e (b) definir
para obter um problema de contorno homogêneo.
Passo 2
Resolva a ODE de regime estacionário
Integramos uma vez para obter
e integramos de novo para achar
Passo 3
Aplique as condições de contorno em
:
em temos
,
em temos
em
em
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Passo 4
Defina a função de correção
Então
isto é,
satisfaz a equação do calor homogênea
com condições de contorno homogêneas
e condição inicial
Resposta
(a)
(b) O problema homogêneo para é
(b) O problema homogêneo para