Seja onde é a soma dos elementos da diagonal principal de , chamado de traço de .
(a) Mostre que é um subespaço vetorial de ;
(b) Mostre que o conjunto é linearmente independente e complete-o com vetores de , para obter uma base de ;
(c) Calcule as coordenadas do vetor na base alpha obtida no item (b);
(d) Supondo que a matriz mudança da base alpha encontrada no item (b) para uma outra base beta vale
quais são as coordenadas do vetor v dado no item ( c ) nesta base beta ?
Passo 1
O enunciado define
U = Ain M3(R)mid tr(A)=0
e pede:
(a) mostrar que U é subespaço de M3(R);
(b) provar que E12,E13,E21,E23,E31,E32subseteq U é linearmente independente e completá-la a uma base alpha de U;
(c) achar as coordenadas de
v=-1&3&21&4&00&0&-3in U
na base alpha;
(d) dada a matriz de mudança de base de alpha para beta, calcular as coordenadas de v em beta.
Passo 2
Para ver que U é subespaço:
A matriz zero tem traço zero, logo 0in U.
Se A,Bin U então tr(A)=0 e tr(B)=0, logo
tr(A+B)=tr(A)+tr(B)=0+0=0,
portanto A+Bin U.
3. Para todo escalar lambdainR vale
tr(lambda A)=lambda,tr(A)=lambdacdot0=0,
então lambda Ain U.
Como U é não-vazio e está fechado sob soma e produto escalar, é subespaço de M3(R).
Passo 3
Para a independência de E12,E13,E21,E23,E31,E32, suponha
a,E12+b,E13+c,E21+d,E23+e,E31+f,E32=0
Olhando cada entrada não-diagonal, vemos imediatamente a=b=c=d=e=f=0.
Como dim M3(R)=9 e a condição tr(A)=0 impõe exatamente um vínculo linear, dim U=8. Para obter uma base completa de U, bastam mais dois vetores de traço zero e independentes dos anteriores. Uma escolha clássica é
E11-E22 e E22-E33,
pois cada um tem traço zero e juntos aos seis Eij formam oito vetores l.i. Logo uma base de U é