Seja U=A in M3(R) ; tr(A)=0 onde tr(A) é a soma dos elementos da diagonal principal de A, chamado de traço de A.
(a) Mostre que U é um subespaço vetorial de M3(R);
(b) Mostre que o conjunto E12, E13, E21, E23, E31, E32 subseteq U é linearmente independente e complete-o com vetores de M3(R), para obter uma base alpha de U;
(c) Calcule as coordenadas do vetor v=[ccc-1 & 3 & 2 1 & 4 & 0 0 & 0 & -3] in U na base alpha obtida no item (b);
(d) Supondo que a matriz mudança da base alpha encontrada no item (b) para uma outra base beta vale
[cccccccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 ],
quais são as coordenadas do vetor v dado no item ( c ) nesta base beta ?

Passo 1

O enunciado define
U = Ain M3(R)mid tr(A)=0
e pede:
(a) mostrar que U é subespaço de M3(R);
(b) provar que E12,E13,E21,E23,E31,E32subseteq U é linearmente independente e completá-la a uma base alpha de U;
(c) achar as coordenadas de
v=-1&3&21&4&00&0&-3in U
na base alpha;
(d) dada a matriz de mudança de base de alpha para beta, calcular as coordenadas de v em beta.

Passo 2

Para ver que U é subespaço:
  1. A matriz zero tem traço zero, logo 0in U.
  2. Se A,Bin U então tr(A)=0 e tr(B)=0, logo
tr(A+B)=tr(A)+tr(B)=0+0=0,
portanto A+Bin U.
3. Para todo escalar lambdainR vale
tr(lambda A)=lambda,tr(A)=lambdacdot0=0,
então lambda Ain U.
Como U é não-vazio e está fechado sob soma e produto escalar, é subespaço de M3(R).

Passo 3

Para a independência de
E12,E13,E21,E23,E31,E32, suponha
a,E12+b,E13+c,E21+d,E23+e,E31+f,E32=0
Olhando cada entrada não-diagonal, vemos imediatamente a=b=c=d=e=f=0.
Como dim M3(R)=9 e a condição tr(A)=0 impõe exatamente um vínculo linear, dim U=8. Para obter uma base completa de U, bastam mais dois vetores de traço zero e independentes dos anteriores. Uma escolha clássica é
E11-E22 e E22-E33,
pois cada um tem traço zero e juntos aos seis Eij formam oito vetores l.i. Logo uma base de U é
alpha=,E12,E13,E21,E23,E31,E32,,E11-E22,,E22-E33

Passo 4

Escrevemos
v=aE12+bE13+cE21+dE23+eE31+fE32 +g,(E11-E22)+h,(E22-E33)
Comparando entradas obtém-se
a=3,;b=2,;c=1,;d=0,;e=0,;f=0, g=-1,;h=3
Logo
[,v,]alpha=(3,2,1,0,0,0,-1,3)^T

Passo 5

A matriz de mudança de alpha para beta é
P= 1&0&0&0&1&0&0&0 0&1&0&0&0&0&0&0 0&0&3&0&0&0&0&0 0&0&0&4&0&0&0&0 0&0&0&0&-1&0&0&0 0&0&0&0&0&1&0&0 0&0&0&0&0&0&1&0 0&0&1&0&0&0&0&1
Multiplicando
[,v,]beta=P,[v]alpha =P,(3,2,1,0,0,0,-1,3)^T =(3,2,3,0,0,0,-1,4)^T

Resposta

(a) U é subespaço pois contém 0 e é fechado sob soma e escalar.
(b) Uma base de U é
,E12,E13,E21,E23,E31,E32,E11-E22,E22-E33
(c) [v]alpha=(3,2,1,0,0,0,-1,3)^T.
(d) [v]beta=(3,2,3,0,0,0,-1,4)^T.

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