A pergunta é: existe solução definida em \mathbb{R} que passe pelo ponto \bigl(x_{0},y_{0}\bigr)? Peço para justificar detalhadamente.
Informações fornecidas que vamos usar:
A função do lado direito é f(x,y)=x^{3}y^{2}+x^{2}y^{3} (polinomial).
O problema é um problema de valor inicial com ponto inicial \bigl(x_{0},y_{0}\bigr).
Não há outras restrições no enunciado (por ex., domínio restringido).]
Passo 2
Primeiro resultado útil (existência e unicidade local). Vou lembrar a ideia e aplicá-la de forma didática. O Teorema de Picard–Lindelöf diz, em palavras simples: se f(x,y) e \partial f/\partial y são contínuas numa região que contém (x_{0},y_{0}), então existe uma única solução y(x) do problema de valor inicial definida em algum intervalo aberto que contém x_{0}. Aqui cada termo significa:
f(x,y) contínua evita problemas de salto no lado direito.
\partial f/\partial y contínua implica que f é localmente Lipschitz em y, o que garante unicidade.
No nosso caso f(x,y) é um polinômio em x e y, portanto é C^{\infty} em toda \mathbb{R}^{2}. Logo, para qualquer \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) existe uma solução única definida num certo intervalo aberto em torno de x_{0}. Isso garante apenas existência local e unicidade.
Passo 3
Agora o que falta é decidir se essa solução local se estende para todo \mathbb{R} (ou seja, é definida globalmente). Vou explicar o que significa “não se estende”: uma solução maximal pode deixar de existir em algum ponto finito X pois a solução pode divergir (tender a \pm\infty) quando x se aproxima desse valor X. Então para garantir existência em toda \mathbb{R} precisamos assegurar que a solução não explode (não fica infinita) em tempo finito (isto é, ao variar x a partir de x_{0} até qualquer ponto real). Não basta só a suavidade de f; é preciso controlar o crescimento da solução.
Passo 4
Um caso trivial que dá solução definida em \mathbb{R}: se y_{0}=0. Verificação direta: se y(x)\equiv 0 então \dfrac{dy}{dx}=0 e f(x,0)=x^{3}\cdot 0^{2}+x^{2}\cdot 0^{3}=0. Logo y\equiv 0 satisfaz a EDO e a condição inicial y(x_{0})=0. Como é uma função globalmente definida e única (pela unicidade local estendida), para \,y_{0}=0 existe solução definida em toda \mathbb{R}.
Passo 5
Para mostrar que em geral NÃO existe solução definida em \mathbb{R} para todo (x_{0},y_{0}), vou construir condições iniciais para as quais a solução explode em tempo finito. A ideia é usar desigualdade comparativa e uma equação mais simples cuja solução explode, para inferir que a nossa também explode.
Observe que, para x real, x^{2}\ge 0. Se escolhermos um ponto inicial com x_{0}\ge 1 e y_{0}>0, então para todo x\ge x_{0} teremos x^{2}\ge 1. Para y>0 notamos que
quando x\ge 1 e y\ge 0. Portanto, ao seguir a solução para a direita (isto é, para x crescentes a partir de x_{0}), enquanto y(x) permanecer positiva temos a desigualdade diferencial
\frac{dy}{dx}\ge y^{3}.
Passo 6
Agora resolvo a EDO comparadora simples
\frac{dz}{dx}=z^{3},\qquad z(x_{0})=y_{0}>0.
Essa equação é separável. Faço a separação e a integração passo a passo (didático):
\frac{dz}{z^{3}}=dx.
Integrando ambos os lados entre x_{0} e x (ou correspondendo em z de y_{0} até z(x)) obtemos
Portanto a solução z(x) da equação comparadora explode (torna-se infinita) em tempo finito: em x=x_{0}+\dfrac{1}{2y_{0}^{2}}.
Passo 7
Usando o princípio de comparação para EDOs (forma intuitiva): se em um intervalo temos y'(x)\ge g(y(x)) com g contínua e se z resolve z'=g(z) com z(x_{0})=y(x_{0}), então, enquanto as soluções existirem, y(x)\ge z(x). No nosso caso, para x\ge x_{0}\ge 1 e com y_{0}>0 temos y'(x)\ge y(x)^{3}, e a solução z que acabamos de calcular explode num ponto finito x=x_{0}+\dfrac{1}{2y_{0}^{2}}. Pelo princípio de comparação, a solução real y(x) do problema original não pode sobreviver além desse ponto (pois seria maior ou igual a z e, logo, também teria de explodir). Conclusão: para qualquer \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) com x_{0}\ge 1 e y_{0}>0, a solução não é definida para todo x\in\mathbb{R}; ela explode em tempo finito à direita.
Passo 8
Comentário sobre outros casos: já vimos que
se y_{0}=0 a solução é y\equiv 0 e está definida em toda \mathbb{R};
existem muitos pontos iniciais (por ex. qualquer (x_{0},y_{0}) com x_{0}\ge 1 e y_{0}>0) para os quais a solução explode à direita em tempo finito e, portanto, não se estende para todo \mathbb{R}.
Pelo lado esquerdo (para x menores que x_{0}) uma análise análoga pode mostrar explosões em direção negativa dependendo do sinal/de evolução; o importante é que já basta um exemplo de explosão finita para concluir que não se pode afirmar, em geral, que haja solução para todo \mathbb{R} a partir de um dado (x_{0},y_{0}).
Resposta
Não, em geral não existe solução definida em \mathbb{R} passando por \bigl(x_{0},y_{0}\bigr).
Se y_{0}=0 então sim: y(x)\equiv 0 é solução global.
Por outro lado, se x_{0}\ge 1 e y_{0}>0 a solução explode em tempo finito à direita (no máximo em x=x_{0}+\dfrac{1}{2y_{0}^{2}}), logo não pode ser estendida para todo \mathbb{R}.