Questão 1 (1,5 pontos) Dados os vetores
e
:
a) Calcule o produto escalar
.
b) Calcule o módulo de cada vetor.
c) Determine o ângulo entre os vetores.
a) Calcule o produto escalar
b) Calcule o módulo de cada vetor.
c) Determine o ângulo entre os vetores.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede três coisas:
- (a) Calcular o produto escalar
. - (b) Calcular o módulo (norma) de cada vetor:
e . - (c) Determinar o ângulo
entre os vetores.
Informações relevantes fornecidas:
- Componentes de
: - Componentes de
:
Passo 2
Explicação e cálculo do produto escalar (parte a).
Regra geral: para
e
o produto escalar é
Isso significa: multiplica-se cada componente correspondente e soma-se os resultados. O produto escalar é um número real que, além de outras interpretações, serve para ligar magnitudes com o cosseno do ângulo entre vetores.
Aplicando aos vetores dados:
Passo 3
Explicação e cálculo do módulo de um vetor (parte b).
Regra geral: a norma (módulo) de
é
É a extensão do teorema de Pitágoras para três dimensões: soma dos quadrados das componentes, e depois raiz quadrada.
Para
:
Para
:
Passo 4
Ligação produto escalar ↔ ângulo entre vetores (começo da parte c).
Fórmula fundamental: para vetores
e
o produto escalar relaciona-se com o ângulo
entre eles por
Isso permite encontrar
isolando:
Passo 5
Cálculo de
e identificação de
.
Substituindo os valores que já calculamos (
,
,
):
Reconhecendo um valor trigonométrico conhecido:
. Logo
Se for preciso um valor numérico em radianos aproximado,
(não é necessário calcular isso na prova se for aceito resposta em graus ou em
-radianos).
Passo 6
Resumo pedagógico e dicas rápidas (para ajudar na prova).
- Quando o produto escalar for zero (
), os vetores são ortogonais ( ). - Se
, então e os vetores são iguais de direção ( ). - Memorize alguns valores úteis:
, , . Eles aparecem muito nas provas e permitem evitar calculadora.
Vai dar certo — você já fez o essencial desta questão!
Resposta
(a)
(b)
,
(c)
(b)
(c)