Questão 1 (1,5 pontos) Dados os vetores \vec{u}=(1,0,0) e \vec{v}=(1,1,0) :
a) Calcule o produto escalar \vec{u} \cdot \vec{v}.
b) Calcule o módulo de cada vetor.
c) Determine o ângulo entre os vetores.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,0,0) e \vec{v}=(1,1,0) e pede três coisas:
  • (a) Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}.
  • (b) Calcular o módulo (norma) de cada vetor: \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|.
  • (c) Determinar o ângulo \theta entre os vetores.
Informações relevantes fornecidas:
  • Componentes de \vec{u}: \,u_1=1,\;u_2=0,\;u_3=0.
  • Componentes de \vec{v}: \,v_1=1,\;v_2=1,\;v_3=0.

Passo 2

Explicação e cálculo do produto escalar (parte a).
Regra geral: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) o produto escalar é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Isso significa: multiplica-se cada componente correspondente e soma-se os resultados. O produto escalar é um número real que, além de outras interpretações, serve para ligar magnitudes com o cosseno do ângulo entre vetores.
Aplicando aos vetores dados:
\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot1 + 0\cdot1 + 0\cdot0 = 1 + 0 + 0 = 1.

Passo 3

Explicação e cálculo do módulo de um vetor (parte b).
Regra geral: a norma (módulo) de \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) é
\|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}.
É a extensão do teorema de Pitágoras para três dimensões: soma dos quadrados das componentes, e depois raiz quadrada.
Para \vec{u}:
\|\vec{u}\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+0^{2}}=\sqrt{1}=1.
Para \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.

Passo 4

Ligação produto escalar ↔ ângulo entre vetores (começo da parte c).
Fórmula fundamental: para vetores \vec{a} e \vec{b} o produto escalar relaciona-se com o ângulo \theta entre eles por
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta.
Isso permite encontrar \cos\theta isolando:
\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|}.

Passo 5

Cálculo de \cos\theta e identificação de \theta.
Substituindo os valores que já calculamos ( \vec{u}\cdot\vec{v}=1, \|\vec{u}\|=1, \|\vec{v}\|=\sqrt{2}):
\cos\theta=\frac{1}{1\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Reconhecendo um valor trigonométrico conhecido: \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Logo
\theta=45^\circ=\frac{\pi}{4}\\ \text{radianos}.
Se for preciso um valor numérico em radianos aproximado, \dfrac{\pi}{4}\approx0,7854\\ \text{rad} (não é necessário calcular isso na prova se for aceito resposta em graus ou em \pi-radianos).

Passo 6

Resumo pedagógico e dicas rápidas (para ajudar na prova).
  • Quando o produto escalar for zero ( \vec{a}\cdot\vec{b}=0), os vetores são ortogonais ( \theta=90^\circ).
  • Se \vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|, então \cos\theta=1 e os vetores são iguais de direção ( \theta=0^\circ).
  • Memorize alguns valores úteis: \cos 0^\circ=1, \cos45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \cos60^\circ=\dfrac{1}{2}. Eles aparecem muito nas provas e permitem evitar calculadora.
Vai dar certo — você já fez o essencial desta questão!

Resposta

(a) 1
(b) \|\vec{u}\|=1 , \|\vec{v}\|=\sqrt{2}
(c) \theta=45^\circ=\dfrac{\pi}{4}

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