Questão 1. (2 pontos) Defina os seguintes conceitos:
Derivadas parciais de uma função de duas variáveis.

Passo 1

O enunciado pede que eu defina o conceito de “derivadas parciais de uma função de duas variáveis”.\n
Informações dadas implícitas no enunciado: temos uma função de duas variáveis, que vou chamar de f, com domínio em pontos (x,y). A tarefa é explicar o que são as derivadas parciais, como se escrevem, como se calculam e dar intuição e exemplos para eu conseguir aplicar isso na prova.

Passo 2

O que é a ideia intuitiva (sem fórmulas ainda).\n
Imagine a superfície no espaço tridimensional dada pelo gráfico de f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, onde a altura sobre o ponto (x,y) é f(x,y). As derivadas parciais medem a inclinação dessa superfície quando eu mexo só numa direção (ou seja, variando só x ou só y), mantendo a outra coordenada fixa. É como se eu andasse sobre a superfície ao longo de uma linha reta paralela ao eixo x (ou ao eixo y) e calculasse a inclinação daquela curva obtida na interseção.

Passo 3

Definição formal usando limite (parte essencial).\n
Se f é uma função de duas variáveis e (a,b) é um ponto do domínio, a derivada parcial de f em relação a x no ponto (a,b) é o limite (quando existir)
\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}.
A derivada parcial de f em relação a y em (a,b) é o limite (quando existir)
\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}.
Explicando cada símbolo: h é um pequeno incremento; em \partial f/\partial x eu aumento x em h e mantenho y=b fixo; em \partial f/\partial y eu aumento y em h e mantenho x=a fixo. O símbolo \partial indica “derivada parcial” (não a derivada total).

Passo 4

Como calcular na prática (receita passo a passo para a prova).\n
  1. Para \partial f/\partial x: trate y como uma constante; diferencie f(x,y) em relação a x usando as regras normais de derivação (produto, potência, exponencial, etc.), como se y fosse um número fixo. O resultado é uma expressão em x e y. Se for preciso avaliar em (a,b), substitua x=a e y=b.\n
  2. Para \partial f/\partial y: trate x como constante e diferencie em relação a y do mesmo jeito.\n
    Essa “tratar a outra variável como constante” é exatamente o que as definições por limite dizem, mas é a forma mais prática para fazer contas rápidas na prova.

Passo 5

Exemplo 1 (passo a passo completo).\n
Seja
f(x,y)=x^2y+3xy^2.
Queremos \partial f/\partial x e \partial f/\partial y.\n
Calcule \partial f/\partial x tratando y como constante:\n
  • Derivada de x^2y em relação a x: y é constante, então \frac{d}{dx}(x^2y)=2x y.\n
  • Derivada de 3xy^2 em relação a x: y^2 é constante, então \frac{d}{dx}(3xy^2)=3 y^2.\n
    Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x y+3 y^2.
Agora \partial f/\partial y tratando x como constante:\n
  • \frac{d}{dy}(x^2y)=x^2.\n
  • \frac{d}{dy}(3xy^2)=3x\cdot 2y=6xy.\n
    Logo
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^2+6 x y.
Se eu quisesse avaliar em (a,b), eu substituiria x=a e y=b.

Passo 6

Exemplo 2 (um pouquinho diferente, com exponencial e produto).\n
Seja
g(x,y)=\sin(x)\,e^{y}.
Calcule \partial g/\partial x e \partial g/\partial y.\n
  • Para \partial g/\partial x: trate e^{y} como constante. Derivada de \sin(x) é \cos(x). Portanto
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=\cos(x)\,e^{y}.
  • Para \partial g/\partial y: trate \sin(x) como constante. Derivada de e^{y} é e^{y}. Portanto
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=\sin(x)\,e^{y}.

Passo 7

Interpretação geométrica e propriedades importantes (coisas que caem na prova).\n
  • Interpretação geométrica: \partial f/\partial x(a,b) é a inclinação da curva obtida intersectando a superfície z=f(x,y) com o plano y=b. Mesma ideia para \partial f/\partial y(a,b) com o plano x=a.\n
  • Linearidade: \partial (af+bg)/\partial x=a\,\partial f/\partial x+b\,\partial g/\partial x para constantes a,b.\n
  • Regras usuais: produto, quociente e cadeia funcionam como em uma variável, mas lembrando de tratar a outra variável como constante. Exemplo do produto: \partial (uv)/\partial x=(\partial u/\partial x)v+u(\partial v/\partial x), onde u,v podem depender de x e y.\n
  • Derivadas parciais de segunda ordem: você pode derivar novamente em x ou y. Notações comuns:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}.
Se as derivadas mistas \partial^2 f/\partial x\partial y e \partial^2 f/\partial y\partial x forem contínuas num entorno do ponto, então elas são iguais (teorema de Clairaut). Isso é útil para checar cálculos em provas.\n
  • Atenção: existência de derivadas parciais não garante que f seja “diferenciável” (no sentido de ter uma aproximação linear boa). Em muitas provas básicas isso não aparece, mas é bom saber: diferenciabilidade é uma condição mais forte.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova e resumo prático.\n
  • Regra prática: quando pedir \partial/\partial x, diferencie em x e trate y como constante; quando pedir \partial/\partial y, diferencie em y e trate x como constante.\n
  • Mostre os passos: escreva a função, destaque os termos e aplique a derivada termo a termo — isso evita erro em provas.\n
  • Se pedirem avaliação num ponto, calcule a expressão geral e só depois substitua o ponto.\n
    Você consegue fazer isso na prova; se bater nervoso, lembre dessa receita simples e faça devagar.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}
\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}

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