Questão 1. (2 pontos) Defina os seguintes conceitos:
Derivadas parciais de uma função de duas variáveis.
Derivadas parciais de uma função de duas variáveis.
Passo 1
O enunciado pede que eu defina o conceito de “derivadas parciais de uma função de duas variáveis”.\n
Informações dadas implícitas no enunciado: temos uma função de duas variáveis, que vou chamar de , com domínio em pontos
. A tarefa é explicar o que são as derivadas parciais, como se escrevem, como se calculam e dar intuição e exemplos para eu conseguir aplicar isso na prova.
Informações dadas implícitas no enunciado: temos uma função de duas variáveis, que vou chamar de
Passo 2
O que é a ideia intuitiva (sem fórmulas ainda).\n
Imagine a superfície no espaço tridimensional dada pelo gráfico de , onde a altura sobre o ponto
é
. As derivadas parciais medem a inclinação dessa superfície quando eu mexo só numa direção (ou seja, variando só
ou só
), mantendo a outra coordenada fixa. É como se eu andasse sobre a superfície ao longo de uma linha reta paralela ao eixo
(ou ao eixo
) e calculasse a inclinação daquela curva obtida na interseção.
Imagine a superfície no espaço tridimensional dada pelo gráfico de
Passo 3
Definição formal usando limite (parte essencial).\n
Se é uma função de duas variáveis e
é um ponto do domínio, a derivada parcial de
em relação a
no ponto
é o limite (quando existir)
Se
A derivada parcial de
em relação a
em
é o limite (quando existir)
Explicando cada símbolo:
é um pequeno incremento; em
eu aumento
em
e mantenho
fixo; em
eu aumento
em
e mantenho
fixo. O símbolo
indica “derivada parcial” (não a derivada total).
Passo 4
Como calcular na prática (receita passo a passo para a prova).\n
- Para
: trate como uma constante; diferencie em relação a usando as regras normais de derivação (produto, potência, exponencial, etc.), como se fosse um número fixo. O resultado é uma expressão em e . Se for preciso avaliar em , substitua e .\n - Para
: trate como constante e diferencie em relação a do mesmo jeito.\n
Essa “tratar a outra variável como constante” é exatamente o que as definições por limite dizem, mas é a forma mais prática para fazer contas rápidas na prova.
Passo 5
Exemplo 1 (passo a passo completo).\n
Seja
Seja
Queremos
e
.\n
Calcule tratando
como constante:\n
Calcule
- Derivada de
em relação a : é constante, então .\n - Derivada de
em relação a : é constante, então .\n
Logo
Agora
tratando
como constante:\n
-
.\n -
.\n
Logo
Se eu quisesse avaliar em
, eu substituiria
e
.
Passo 6
Exemplo 2 (um pouquinho diferente, com exponencial e produto).\n
Seja
Seja
Calcule
e
.\n
- Para
: trate como constante. Derivada de é . Portanto
- Para
: trate como constante. Derivada de é . Portanto
Passo 7
Interpretação geométrica e propriedades importantes (coisas que caem na prova).\n
- Interpretação geométrica:
é a inclinação da curva obtida intersectando a superfície com o plano . Mesma ideia para com o plano .\n - Linearidade:
para constantes .\n - Regras usuais: produto, quociente e cadeia funcionam como em uma variável, mas lembrando de tratar a outra variável como constante. Exemplo do produto:
, onde podem depender de e .\n - Derivadas parciais de segunda ordem: você pode derivar novamente em
ou . Notações comuns:
Se as derivadas mistas
e
forem contínuas num entorno do ponto, então elas são iguais (teorema de Clairaut). Isso é útil para checar cálculos em provas.\n
- Atenção: existência de derivadas parciais não garante que
seja “diferenciável” (no sentido de ter uma aproximação linear boa). Em muitas provas básicas isso não aparece, mas é bom saber: diferenciabilidade é uma condição mais forte.
Passo 8
Dicas rápidas para a prova e resumo prático.\n
- Regra prática: quando pedir
, diferencie em e trate como constante; quando pedir , diferencie em e trate como constante.\n - Mostre os passos: escreva a função, destaque os termos e aplique a derivada termo a termo — isso evita erro em provas.\n
- Se pedirem avaliação num ponto, calcule a expressão geral e só depois substitua o ponto.\n
Você consegue fazer isso na prova; se bater nervoso, lembre dessa receita simples e faça devagar.