Questão 2. (3 pontos) Determine as derivadas parciais (primeira, segunda e mista) das funções:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem, as derivadas parciais de segunda ordem e as derivadas parciais mistas da função
.
Informações dadas:
Perguntas explícitas (o que precisamos fornecer):
- As derivadas parciais de primeira ordem:
e . - As derivadas parciais de segunda ordem:
e . - As derivadas parciais mistas:
e .
Passo 2
O que é derivada parcial (aula rápida e prática): a derivada parcial de
em relação a
mede como
varia quando apenas
muda e
fica fixo. Análogamente, a derivada parcial em relação a
mede como
varia quando apenas
muda e
fica fixo.
Notação padrão:
Quando diferenciamos em relação a
, tratamos
como constante; quando diferenciamos em relação a
, tratamos
como constante.
Passo 3
Regra que vamos usar (revisão): a regra do poder (power rule) para derivadas diz que, para uma variável
,
Se tivermos um produto de uma função dependente da variável que derivamos por uma constante (ou por algo que é considerado constante no contexto), podemos fatorar a constante. Por exemplo, se
e
é constante quando derivamos em
, então
Passo 4
Cálculo da derivada parcial de primeira ordem em relação a
:
Aplicando a ideia do passo anterior:
Explanação: aqui tratei
como constante e usei a regra do poder para
.
Passo 5
Cálculo da derivada parcial de primeira ordem em relação a
:
Agora tratamos
como constante. A função é
, que é um produto de
(constante ao derivar em
) por
. Logo:
Explicação: derivada de
em relação a
é
; multiplicamos por
, que é constante no processo.
Passo 6
O que são derivadas parciais de segunda ordem e mistas (mini-aula): as derivadas de segunda ordem são derivadas das derivadas de primeira ordem. Podemos derivar
novamente em relação a
para obter
, ou derivar
em relação a
para obter a mista
. Análoga lógica vale para
: derivando em
obtemos
e em
obtemos
.
Também existe um resultado útil (teorema de Clairaut) que, sob hipóteses de regularidade que funções polinomiais satisfeitas, garante que
Mostraremos isso explicitamente.
Passo 7
Cálculo de
:
Já temos
. Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Passo a passo: tirei o fator constante
e apliquei a regra do poder a
.
Passo 8
Cálculo de
:
Já temos
. Derivando em relação a
, agora
é constante (não depende de
), então
Explicação: derivada de uma constante em relação à variável é zero.
Passo 9
Cálculo das derivadas parciais mistas
e
:
Começando por
. Temos
. Derivando em relação a
:
Agora
. Temos
. Derivando em relação a
:
Conferindo:
, como esperado pelo teorema de Clairaut para funções polinomiais.