Questão 2. (3 pontos) Determine as derivadas parciais (primeira, segunda e mista) das funções:
f(x, y)=x^{3} y.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem, as derivadas parciais de segunda ordem e as derivadas parciais mistas da função f(x,y)=x^{3}y.
Informações dadas:
f(x,y)=x^{3}y.
Perguntas explícitas (o que precisamos fornecer):
  1. As derivadas parciais de primeira ordem: \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  2. As derivadas parciais de segunda ordem: \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.
  3. As derivadas parciais mistas: \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}.

Passo 2

O que é derivada parcial (aula rápida e prática): a derivada parcial de f em relação a x mede como f varia quando apenas x muda e y fica fixo. Análogamente, a derivada parcial em relação a y mede como f varia quando apenas y muda e x fica fixo.
Notação padrão:
f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x},\qquad f_y=\dfrac{\partial f}{\partial y}.
Quando diferenciamos em relação a x, tratamos y como constante; quando diferenciamos em relação a y, tratamos x como constante.

Passo 3

Regra que vamos usar (revisão): a regra do poder (power rule) para derivadas diz que, para uma variável t,
\frac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}.
Se tivermos um produto de uma função dependente da variável que derivamos por uma constante (ou por algo que é considerado constante no contexto), podemos fatorar a constante. Por exemplo, se g(x)=x^{3}y e y é constante quando derivamos em x, então
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y\bigr)=y\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=y\cdot 3x^{2}.

Passo 4

Cálculo da derivada parcial de primeira ordem em relação a x:
Aplicando a ideia do passo anterior:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y\bigr)=y\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=y\cdot 3x^{2}=3x^{2}y.
Explanação: aqui tratei y como constante e usei a regra do poder para x^{3}.

Passo 5

Cálculo da derivada parcial de primeira ordem em relação a y:
Agora tratamos x como constante. A função é f(x,y)=x^{3}y, que é um produto de x^{3} (constante ao derivar em y) por y. Logo:
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y\bigr)=x^{3}\cdot\frac{d}{dy}(y)=x^{3}\cdot 1=x^{3}.
Explicação: derivada de y em relação a y é 1; multiplicamos por x^{3}, que é constante no processo.

Passo 6

O que são derivadas parciais de segunda ordem e mistas (mini-aula): as derivadas de segunda ordem são derivadas das derivadas de primeira ordem. Podemos derivar f_x novamente em relação a x para obter f_{xx}, ou derivar f_x em relação a y para obter a mista f_{xy}. Análoga lógica vale para f_y: derivando em x obtemos f_{yx} e em y obtemos f_{yy}.
Também existe um resultado útil (teorema de Clairaut) que, sob hipóteses de regularidade que funções polinomiais satisfeitas, garante que
f_{xy}=f_{yx}.
Mostraremos isso explicitamente.

Passo 7

Cálculo de \displaystyle f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(f_x\bigr):
Já temos f_x=3x^{2}y. Derivando em relação a x (tratando y como constante):
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y\bigr)=3y\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=3y\cdot 2x=6xy.
Passo a passo: tirei o fator constante 3y e apliquei a regra do poder a x^{2}.

Passo 8

Cálculo de \displaystyle f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(f_y\bigr):
Já temos f_y=x^{3}. Derivando em relação a y, agora x^{3} é constante (não depende de y), então
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}\bigr)=0.
Explicação: derivada de uma constante em relação à variável é zero.

Passo 9

Cálculo das derivadas parciais mistas \displaystyle f_{xy} e \displaystyle f_{yx}:
Começando por f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(f_x\bigr). Temos f_x=3x^{2}y. Derivando em relação a y:
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y\bigr)=3x^{2}\cdot\frac{d}{dy}(y)=3x^{2}.
Agora f_{yx}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(f_y\bigr). Temos f_y=x^{3}. Derivando em relação a x:
f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
Conferindo: \displaystyle f_{xy}=3x^{2}=f_{yx}, como esperado pelo teorema de Clairaut para funções polinomiais.

Resposta

\displaystyle f_x=3x^{2}y
\displaystyle f_y=x^{3}
\displaystyle f_{xx}=6xy
\displaystyle f_{yy}=0
\displaystyle f_{xy}=3x^{2}
\displaystyle f_{yx}=3x^{2}

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