Usando os valores de
,
e uma altura
, em quanto tempo o satélite considerado no item anterior dá uma volta em torno da Terra?
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular em quanto tempo (período orbital) o satélite dá uma volta completa em torno da Terra, usando os dados fornecidos.
Dados fornecidos (todos representados em notação científica conforme solicitado):
-
(raio da Terra); -
(massa da Terra); -
(constante gravitacional); -
(altura do satélite acima da superfície).
Observação importante usada para resolver o problema (não foi pedido, mas é necessário): assume-se que a órbita é circular e que se pode desprezar a resistência atmosférica e a massa do satélite em relação à da Terra. Com isso a distância do satélite ao centro da Terra é
.
Passo 2
Fórmulas e ideias que vou usar (explicadas passo a passo).
- Força gravitacional fornece a força centrípeta para a órbita circular. A força gravitacional entre Terra e satélite é
onde
é a massa do satélite (que vai cancelar depois) e
é a distância do satélite ao centro da Terra.
- A força centrípeta necessária para manter massa
em movimento circular de velocidade tangencial e raio é
- Igualando
(porque a gravidade fornece a centrípeta) temos
Cancelando
e multiplicando por
vem
Aqui
é a velocidade orbital.
- O período orbital
(tempo para uma volta completa) é o comprimento da circunferência dividido pela velocidade:
Substituindo
obtemos a fórmula padrão de Kepler para período de órbita circular:
Explicação das variáveis:
-
: período (segundos); -
: raio da órbita (metros); -
: constante gravitacional; -
: massa da Terra.
Passo 3
Calcular o raio da órbita
. Primeiro converto
para metros:
Logo
Passo 4
Calcular o produto
(aparece no denominador da fórmula do período):
Multiplicando os coeficientes:
e a potência de 10 é
. Portanto
(As unidades vêm de
vezes
, que resultam em
.)
Passo 5
Calcular
:
Calculo de
:
e
. Assim
Passo 6
Agora calculo a razão dentro da raiz:
Dividindo os coeficientes e as potências de 10:
Portanto
Passo 7
Tiro a raiz quadrada:
Unidade: como a razão tinha unidades
, a raiz dá segundos.
Passo 8
Finalmente calculo o período
:
Calculando numericamente:
Converto para horas, minutos e segundos:
Portanto o período corresponde a aproximadamente
.