Usando os valores de R_{T}=6,37 \times 10^{6} \mathrm{~m}, M_{T}=6 \times 10^{24} \mathrm{~kg}, G=6,673 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{kg}^{2} e uma altura h=1000 \mathrm{~km}, em quanto tempo o satélite considerado no item anterior dá uma volta em torno da Terra?

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular em quanto tempo (período orbital) o satélite dá uma volta completa em torno da Terra, usando os dados fornecidos.
Dados fornecidos (todos representados em notação científica conforme solicitado):
  • R_{T}=6,37\times10^{6}\\ \mathrm{m} (raio da Terra);
  • M_{T}=6\times10^{24}\\ \mathrm{kg} (massa da Terra);
  • G=6,673\times10^{-11}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/kg^{2}} (constante gravitacional);
  • h=1000\\ \mathrm{km} (altura do satélite acima da superfície).
Observação importante usada para resolver o problema (não foi pedido, mas é necessário): assume-se que a órbita é circular e que se pode desprezar a resistência atmosférica e a massa do satélite em relação à da Terra. Com isso a distância do satélite ao centro da Terra é r=R_{T}+h.

Passo 2

Fórmulas e ideias que vou usar (explicadas passo a passo).
  1. Força gravitacional fornece a força centrípeta para a órbita circular. A força gravitacional entre Terra e satélite é
F_{g}=\frac{G\,M_{T}\,m}{r^{2}},
onde m é a massa do satélite (que vai cancelar depois) e r é a distância do satélite ao centro da Terra.
  1. A força centrípeta necessária para manter massa m em movimento circular de velocidade tangencial v e raio r é
F_{c}=\frac{m\,v^{2}}{r}.
  1. Igualando F_{g}=F_{c} (porque a gravidade fornece a centrípeta) temos
\frac{G\,M_{T}\,m}{r^{2}}=\frac{m\,v^{2}}{r}.
Cancelando m e multiplicando por r^{2} vem
G\,M_{T}=v^{2}\,r \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{G\,M_{T}}{r}}.
Aqui v é a velocidade orbital.
  1. O período orbital T (tempo para uma volta completa) é o comprimento da circunferência dividido pela velocidade:
T=\frac{2\pi r}{v}.
Substituindo v obtemos a fórmula padrão de Kepler para período de órbita circular:
T=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{G\,M_{T}}}.
Explicação das variáveis:
  • T: período (segundos);
  • r: raio da órbita (metros);
  • G: constante gravitacional;
  • M_{T}: massa da Terra.

Passo 3

Calcular o raio da órbita r. Primeiro converto h para metros:
h=1000\\ \mathrm{km}=1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
Logo
r=R_{T}+h=6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m}+1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{m}=7{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o produto G\,M_{T} (aparece no denominador da fórmula do período):
G\,M_{T}=(6{,}673\times10^{-11})\times(6{,}0\times10^{24}) =6{,}673\times6{,}0\times10^{-11+24}.
Multiplicando os coeficientes:
6{,}673\times6{,}0=40{,}038
e a potência de 10 é 10^{13}. Portanto
G\,M_{T}=4{,}0038\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}/s^{2}}.
(As unidades vêm de G vezes M_{T}, que resultam em \mathrm{m^{3}/s^{2}}.)

Passo 5

Calcular r^{3}:
r^{3}=(7{,}37\times10^{6})^{3}=7{,}37^{3}\times10^{18}.
Calculo de 7{,}37^{3}: 7{,}37^{2}=54{,}3169 e 54{,}3169\times7{,}37\approx400{,}3053. Assim
r^{3}\approx4{,}003053\times10^{20}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 6

Agora calculo a razão dentro da raiz:
\frac{r^{3}}{G\,M_{T}} \approx \frac{4{,}003053\times10^{20}}{4{,}0038\times10^{14}}.
Dividindo os coeficientes e as potências de 10:
\frac{4{,}003053}{4{,}0038}\approx0{,}999813\quad\text{e}\quad10^{20-14}=10^{6}.
Portanto
\frac{r^{3}}{G\,M_{T}}\approx0{,}999813\times10^{6}=9{,}99813\times10^{5}\\ \mathrm{s^{2}}.

Passo 7

Tiro a raiz quadrada:
\sqrt{\frac{r^{3}}{G\,M_{T}}}\approx\sqrt{9{,}99813\times10^{5}}\approx999{,}9067\\ \mathrm{s}.
Unidade: como a razão tinha unidades \mathrm{s^{2}}, a raiz dá segundos.

Passo 8

Finalmente calculo o período T:
T=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{G\,M_{T}}}\approx2\pi\times999{,}9067.
Calculando numericamente:
T\approx6{,}2831853\times999{,}9067\approx6{,}282{,}60\\ \mathrm{s}.
Converto para horas, minutos e segundos:
\frac{6282{,}60}{3600}\approx1{,}74517\\ \mathrm{h}=1\\ \mathrm{h}+(0{,}74517\times60)\\ \mathrm{min}
0{,}74517\times60\approx44{,}71\\ \mathrm{min}=44\\ \mathrm{min}+(0{,}71\times60)\\ \mathrm{s}
0{,}71\times60\approx42{,}6\\ \mathrm{s}.
Portanto o período corresponde a aproximadamente 1\\ \mathrm{h}\\\ 44\\ \mathrm{min}\\\ 42{,}6\\ \mathrm{s}.

Resposta

T\approx6\,282{,}6\\ \mathrm{s}\approx1\\ \mathrm{h}\\\ 44\\ \mathrm{min}\\\ 42{,}6\\ \mathrm{s}

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