Questāo 2 ( 3,0 Pontos): Deseja-se secar 5 ton de um catalisador industrial, cujas partículas têm densidade relativa 2,75 , diâmetro de Sauter igual a
, distribuição granulométrica que segue o modelo RRB de parâmetros
esfericidade 0,8 . Para isso, pretende-se fluidizar o catalizador com um gás quente, que possui propriedades físicas semelhantes às do ar a
e 1 atm . O vaso que irá conter o leito fluidizado tem seção transversal retangular de 1 m por 2 m . Supondo-se que o gás é incompressível e desprezando-se os efeitos das trocas de calor e massa sobre as propriedades físicas do sólido e do gás, pede-se:
a)
Calcule a potência do soprador de gás necessária para operar o leito com o triplo da velocidade mínima de fluidização, supondo que seu rendimento eletromecânico seja de
.
b)
Calcule a massa (em kg) de “finos de catalisador” que, nessas condições, será arrastada do leito.
a)
b)
Passo 1
Vou organizar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Massa de catalisador sólida:
. - Densidade relativa (específica) das partículas:
. Portanto densidade de partículas . - Diâmetro de Sauter:
. - Distribuição granulométrica modelo RRB com parâmetros:
(este é o parâmetro característico da Rosin–Rammler; corresponde a em massa), e expoente . - Esfericidade:
. - Propriedades do gás (semelhantes ao ar a
e ). Vou usar valores típicos: - Densidade do gás:
. - Viscosidade dinâmica:
.
(Vou explicitar que esses valores foram adotados como propriedades do ar a.)
- Densidade do gás:
- A seção transversal do vaso:
. - Rendimento eletromecânico do soprador:
. - Operação pedida: velocidade superficial do gás
, onde é a velocidade mínima de fluidização.
Perguntas:
(a) Calcular a potência do soprador necessária (considerando).
(b) Calcular a massa (kg) de finos de catalisador que será arrastada nessas condições.
Passo 2
Plano e hipóteses claras (já que o enunciado pede simplificações):
- Vou calcular
a partir da correlação de Wen & Yu (correlação padrão para velocidade mínima de fluidização), usando diâmetro equivalente das partículas. A correlação fornece o número de Reynolds em em função do número de Archimedes. - Depois
. O soprador precisa fornecer vazão e vencer a queda de pressão aproximadamente igual ao peso corpóreo das partículas por área; assumo que a queda de pressão sobre o leito fluidizado é aproximadamente igual ao peso de sólido por área (é a hipótese clássica, válida desde que não haja perdas adicionais grandes). - Para os finos arrastados: assumirei que as partículas com velocidade terminal
(na coluna de gás ascendente) menor que a velocidade superficial do gás serão arrastadas para fora. Assim encontro o diâmetro crítico tal que . A distribuição RRB dá a fração em massa com ; multiplico pela massa total para obter massa de finos arrastados. - Notas sobre consistência dos diámetros e esfericidade: o diâmetro de Sauter
dado relaciona volume e superfície e, para partículas não esféricas, o diâmetro de esfera de volume equivalente está relacionado por . Logo usarei como o diâmetro representativo para as forças hidrodinâmicas.
Passo 3
Cálculo do diâmetro equivalente volumétrico (diâmetro de esfera de mesmo volume).
- Fórmula (explicação): a esfericidade
é a razão entre a área de esfera com mesmo volume e a área real da partícula. Do relacionamento entre (definido por volume/superfície) e o diâmetro de volume-equivalente obtém-se . Logo
- Substituindo:
Passo 4
Cálculo do número de Archimedes
e uso da correlação de Wen & Yu para
.
Definições e fórmulas (aula curta):
- O número de Archimedes
é uma quantidade adimensional que mede a relação entre forças gravitacionais e viscosas para partículas:
onde
.
- A correlação de Wen & Yu (comum para leitos de partículas) dá o número de Reynolds de incipiente fluidização
em função de por:
- Uma vez que
é conhecido, a velocidade mínima de fluidização é
Agora calculo numericamente (mostrando as contas):
- Primeiro
- Diferença de densidades:
- Produto do numerador:
- Denominador
- Assim
Aplicando Wen & Yu:
Agora
:
Calculo passo a passo:
- Numerador
- Denominador
- Logo
Velocidade de operação pedida:
Passo 5
Cálculo da vazão volumétrica
e da queda de pressão estimada no leito.
- Vazão volumétrica:
- Queda de pressão através do leito fluidizado: hipótese usual (e simples) — a queda de pressão suporta o peso dos sólidos por unidade de área, logo
(Caso queira a expressão em termos de altura e porosidade, chega-se ao mesmo valor numérico; mostro o valor direto.)
- Cálculo:
Observação didática: essa estimativa é padrão para cálculo de potência do soprador porque, sob fluidização, a pressão sobre o leito permanece aproximadamente igual ao peso do sólido por área (até que comece o transporte intenso de partículas).
Passo 6
Cálculo da potência hidráulica do gás e da potência elétrica requerida ao soprador considerando rendimento.
- Potência hidráulica fornecida ao fluido (potência útil):
- Cálculo:
- Potência elétrica requerida considerando rendimento
:
Portanto a potência do soprador (entrada elétrica) necessária é aproximadamente
.
Passo 7
Estratégia para calcular massa de finos arrastados: encontrar o diâmetro crítico
tal que a velocidade terminal
. Em seguida usar a distribuição RRB para achar a fração em massa com
.
- Fórmula para velocidade terminal (balanço peso = arrasto), explicando a origem:
Para uma partícula esférica de diâmetroem regime onde o coeficiente de arrasto pode depender de Reynolds, a condição de equilíbrio dá:
Simplificando:
Entretanto
depende de
. Uma correlação prática para
(Schiller–Naumann) válida para
é
Assim a equação é implícita em
e resolvida por iteração.
Passo 8
Cálculo numérico do diâmetro crítico
tal que
. Vou mostrar a iteração e o critério.
- Rearranjo útil: para um valor
dado, pode-se obter necessário pela equação invertida
- Com
conhecido (aqui ), calcula-se e o previsto pela Schiller–Naumann; busca-se tal que o obtido pela equação invertida coincida com o da correlação. Fiz uma busca iterativa (mostro alguns passos representativos):
Tentativas (resumo dos cálculos):
- Para
obtive calculado (pela equação com de Schiller–Naumann) ~ (maior que ). - Para
obtive (menor que ). - Refinando, cheguei a uma raiz por tentativa e erro: para
o calculado fica muito próximo de .
Cálculo representativo em um ponto próximo do critério:
- Tome
. -
- Schiller–Naumann dá
- Com esse
, a fórmula do equilíbrio fornece
ligeramente maior que
. Ajustando um pouco para
obtém-se
.
Conclusão da iteração:
(Comentário: os diâmetros críticos são bem menores que o diâmetro médio; faz sentido físico: apenas partículas muito finas têm velocidade terminal menor que a velocidade superficial e, portanto, são arrancadas pelo gás.)
Passo 9
Usar a distribuição RRB (Rosin–Rammler) para obter a fração em massa com
.
- Fórmula da RRB (explicação): a fração acumulada em massa mais fina que
é
onde
é o parâmetro característico (aqui dado como
) e
é o expoente (aqui
).
- Substituindo
e :
Logo
Ou seja, a fração em massa mais fina que
é aproximadamente
.
- Massa de finos arrastados:
Resposta
Potência elétrica do soprador requerida
Massa de finos arrastados