Questāo 2 ( 3,0 Pontos): Deseja-se secar 5 ton de um catalisador industrial, cujas partículas têm densidade relativa 2,75 , diâmetro de Sauter igual a 0,13 \mathrm{~mm}, distribuição granulométrica que segue o modelo RRB de parâmetros \mathrm{D}_{63,2}=0,20 \mathrm{~mm}, \mathrm{n}=2,4 \mathrm{e} esfericidade 0,8 . Para isso, pretende-se fluidizar o catalizador com um gás quente, que possui propriedades físicas semelhantes às do ar a 100^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm . O vaso que irá conter o leito fluidizado tem seção transversal retangular de 1 m por 2 m . Supondo-se que o gás é incompressível e desprezando-se os efeitos das trocas de calor e massa sobre as propriedades físicas do sólido e do gás, pede-se:
a) (1,5) Calcule a potência do soprador de gás necessária para operar o leito com o triplo da velocidade mínima de fluidização, supondo que seu rendimento eletromecânico seja de 75 \%.
b) (1,5) Calcule a massa (em kg) de “finos de catalisador” que, nessas condições, será arrastada do leito.

Passo 1

Vou organizar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Massa de catalisador sólida: m_s=5{,}0\\ \text{ton} = 5000\\ \mathrm{kg}.
  • Densidade relativa (específica) das partículas: S=2{,}75. Portanto densidade de partículas \rho_p = S\cdot 1000 = 2750\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Diâmetro de Sauter: d_{32}=0{,}13\\ \mathrm{mm}=1{,}3\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Distribuição granulométrica modelo RRB com parâmetros: D_{63,2}=0{,}20\\ \mathrm{mm}=2{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m} (este é o parâmetro característico da Rosin–Rammler; corresponde a 63{,}2\% em massa), e expoente n=2{,}4.
  • Esfericidade: \psi=0{,}8.
  • Propriedades do gás (semelhantes ao ar a 100^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm}). Vou usar valores típicos:
    • Densidade do gás: \rho_g = 0{,}946\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Viscosidade dinâmica: \mu = 2{,}08\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
      (Vou explicitar que esses valores foram adotados como propriedades do ar a 100^\circ\mathrm{C}.)
  • A seção transversal do vaso: A = 1\\ \mathrm{m}\times2\\ \mathrm{m}=2{,}0\\ \mathrm{m^2}.
  • Rendimento eletromecânico do soprador: \eta = 0{,}75.
  • Operação pedida: velocidade superficial do gás U = 3\;U_{mf}, onde U_{mf} é a velocidade mínima de fluidização.
    Perguntas:
    (a) Calcular a potência do soprador necessária (considerando \eta=75\%).
    (b) Calcular a massa (kg) de finos de catalisador que será arrastada nessas condições.

Passo 2

Plano e hipóteses claras (já que o enunciado pede simplificações):
  • Vou calcular U_{mf} a partir da correlação de Wen & Yu (correlação padrão para velocidade mínima de fluidização), usando diâmetro equivalente das partículas. A correlação fornece o número de Reynolds em U_{mf} em função do número de Archimedes.
  • Depois U=3U_{mf}. O soprador precisa fornecer vazão Q=U\cdot A e vencer a queda de pressão aproximadamente igual ao peso corpóreo das partículas por área; assumo que a queda de pressão sobre o leito fluidizado é aproximadamente igual ao peso de sólido por área (é a hipótese clássica, válida desde que não haja perdas adicionais grandes).
  • Para os finos arrastados: assumirei que as partículas com velocidade terminal v_t (na coluna de gás ascendente) menor que a velocidade superficial do gás U serão arrastadas para fora. Assim encontro o diâmetro crítico d_{cr} tal que v_t(d_{cr})=U. A distribuição RRB dá a fração em massa com d\le d_{cr}; multiplico pela massa total para obter massa de finos arrastados.
  • Notas sobre consistência dos diámetros e esfericidade: o diâmetro de Sauter d_{32} dado relaciona volume e superfície e, para partículas não esféricas, o diâmetro de esfera de volume equivalente d_v está relacionado por d_{32}=\psi\, d_v. Logo usarei d_v = d_{32}/\psi como o diâmetro representativo para as forças hidrodinâmicas.

Passo 3

Cálculo do diâmetro equivalente volumétrico (diâmetro de esfera de mesmo volume).
  • Fórmula (explicação): a esfericidade \psi é a razão entre a área de esfera com mesmo volume e a área real da partícula. Do relacionamento entre d_{32} (definido por volume/superfície) e o diâmetro de volume-equivalente d_v obtém-se d_{32}=\psi\, d_v. Logo
d_v = \frac{d_{32}}{\psi}.
  • Substituindo:
d_v = \frac{1{,}3\times10^{-4}\\ \mathrm{m}}{0{,}8} = 1{,}625\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo do número de Archimedes \mathrm{Ar} e uso da correlação de Wen & Yu para U_{mf}.
Definições e fórmulas (aula curta):
  • O número de Archimedes \mathrm{Ar} é uma quantidade adimensional que mede a relação entre forças gravitacionais e viscosas para partículas:
\mathrm{Ar} = \frac{d_v^3\,\rho_g\,(\rho_p-\rho_g)\,g}{\mu^2},
onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • A correlação de Wen & Yu (comum para leitos de partículas) dá o número de Reynolds de incipiente fluidização \mathrm{Re}_{mf} em função de \mathrm{Ar} por:
\mathrm{Re}_{mf} = \sqrt{33{,}7^2 + 0{,}0408\,\mathrm{Ar}} \;-\; 33{,}7.
  • Uma vez que \mathrm{Re}_{mf} é conhecido, a velocidade mínima de fluidização é
U_{mf} = \frac{\mathrm{Re}_{mf}\,\mu}{\rho_g\, d_v}.
Agora calculo numericamente (mostrando as contas):
  • Primeiro d_v^3 = (1{,}625\times10^{-4})^3 = 4{,}29\times10^{-12}\\ \mathrm{m^3}.
  • Diferença de densidades: \rho_p-\rho_g = 2750 - 0{,}946 = 2749{,}054\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Produto do numerador:
d_v^3 \rho_g (\rho_p-\rho_g) g = 4{,}29\times10^{-12}\times 0{,}946\times 2749{,}054\times 9{,}81 \approx 1{,}095\times10^{-7}.
  • Denominador \mu^2=(2{,}08\times10^{-5})^2 =4{,}3264\times10^{-10}.
  • Assim
\mathrm{Ar} = \frac{1{,}095\times10^{-7}}{4{,}3264\times10^{-10}} \approx 253{,}2.
Aplicando Wen & Yu:
\mathrm{Re}_{mf} = \sqrt{33{,}7^2 + 0{,}0408\times 253{,}2}\;-\;33{,}7 = \sqrt{1135{,}69 + 10{,}34}\;-\;33{,}7 = \sqrt{1146{,}03}\;-\;33{,}7 \approx 33{,}852 - 33{,}7 = 0{,}152.
Agora U_{mf}:
U_{mf} = \frac{\mathrm{Re}_{mf}\,\mu}{\rho_g\, d_v} = \frac{0{,}152\times 2{,}08\times10^{-5}}{0{,}946\times 1{,}625\times10^{-4}}.
Calculo passo a passo:
  • Numerador = 0{,}152\times 2{,}08\times10^{-5} = 3{,}162\times10^{-6}.
  • Denominador = 0{,}946\times 1{,}625\times10^{-4} = 1{,}537\times10^{-4}.
  • Logo
U_{mf} \approx \frac{3{,}162\times10^{-6}}{1{,}537\times10^{-4}} \approx 0{,}0206\\ \mathrm{m/s}.
Velocidade de operação pedida:
U = 3\,U_{mf} = 3\times 0{,}0206 = 0{,}0619\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Cálculo da vazão volumétrica Q e da queda de pressão estimada no leito.
  • Vazão volumétrica:
Q = U\cdot A = 0{,}0619\\ \mathrm{m/s}\times 2{,}0\\ \mathrm{m^2} = 0{,}1238\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Queda de pressão através do leito fluidizado: hipótese usual (e simples) — a queda de pressão suporta o peso dos sólidos por unidade de área, logo
\Delta P \approx \frac{m_s\,g}{A}.
(Caso queira a expressão em termos de altura e porosidade, chega-se ao mesmo valor numérico; mostro o valor direto.)
  • Cálculo:
\Delta P \approx \frac{5000\\ \mathrm{kg}\times 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}}{2{,}0\\ \mathrm{m^2}} = \frac{49\,050}{2} = 24\,525\\ \mathrm{Pa}.
Observação didática: essa estimativa é padrão para cálculo de potência do soprador porque, sob fluidização, a pressão sobre o leito permanece aproximadamente igual ao peso do sólido por área (até que comece o transporte intenso de partículas).

Passo 6

Cálculo da potência hidráulica do gás e da potência elétrica requerida ao soprador considerando rendimento.
  • Potência hidráulica fornecida ao fluido (potência útil):
\dot{W}_{útil} = Q\cdot \Delta P = 0{,}1238\\ \mathrm{m^3/s}\times 24\,525\\ \mathrm{Pa}.ú
  • Cálculo:
\dot{W}_{útil} \approx 3\,036\\ \mathrm{W} \approx 3{,}04\\ \mathrm{kW}.ú
  • Potência elétrica requerida considerando rendimento \eta=0{,}75:
\dot{W}_{el} = \frac{\dot{W}_{útil}}{\eta} = \frac{3{,}036\\ \mathrm{kW}}{0{,}75}\approx 4{,}05\\ \mathrm{kW}.ú
Portanto a potência do soprador (entrada elétrica) necessária é aproximadamente 4{,}05\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Estratégia para calcular massa de finos arrastados: encontrar o diâmetro crítico d_{cr} tal que a velocidade terminal v_t(d_{cr})=U. Em seguida usar a distribuição RRB para achar a fração em massa com d\le d_{cr}.
  • Fórmula para velocidade terminal (balanço peso = arrasto), explicando a origem:
    Para uma partícula esférica de diâmetro d em regime onde o coeficiente de arrasto C_d pode depender de Reynolds, a condição de equilíbrio dá:
\frac{\pi}{6}d^3(\rho_p-\rho_g)g = \frac{1}{2} C_d \rho_g \frac{\pi d^2}{4} v_t^2.
Simplificando:
v_t = \sqrt{\frac{4\,d(\rho_p-\rho_g)g}{3\,C_d\,\rho_g}}.
Entretanto C_d depende de \mathrm{Re}=\dfrac{\rho_g v_t d}{\mu}. Uma correlação prática para C_d (Schiller–Naumann) válida para \mathrm{Re}\lesssim 1000 é
C_d = \frac{24}{\mathrm{Re}}\left(1+0{,}15\,\mathrm{Re}^{0{,}687}\right).
Assim a equação é implícita em v_t e resolvida por iteração.

Passo 8

Cálculo numérico do diâmetro crítico d_{cr} tal que v_t(d_{cr})=U=0{,}0619\\ \mathrm{m/s}. Vou mostrar a iteração e o critério.
  • Rearranjo útil: para um valor d dado, pode-se obter C_d necessário pela equação invertida
C_d = \frac{4\,d(\rho_p-\rho_g)g}{3\,\rho_g\,v_t^2}.
  • Com v_t conhecido (aqui v_t=U), calcula-se \mathrm{Re}=\dfrac{\rho_g\,U\,d}{\mu} e o C_d previsto pela Schiller–Naumann; busca-se d tal que o C_d obtido pela equação invertida coincida com o C_d da correlação. Fiz uma busca iterativa (mostro alguns passos representativos):
Tentativas (resumo dos cálculos):
  • Para d=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m} obtive v_t calculado (pela equação com C_d de Schiller–Naumann) ~ 0{,}205\\ \mathrm{m/s} (maior que U).
  • Para d=1{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m} obtive v_t\approx 0{,}021\\ \mathrm{m/s} (menor que U).
  • Refinando, cheguei a uma raiz por tentativa e erro: para d\approx 3{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m} o v_t calculado fica muito próximo de 0{,}0619\\ \mathrm{m/s}.
Cálculo representativo em um ponto próximo do critério:
  • Tome d=3{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • \mathrm{Re} = \dfrac{\rho_g U d}{\mu} = \dfrac{0{,}946\times 0{,}0619\times 3{,}0\times10^{-5}}{2{,}08\times10^{-5}} \approx 0{,}0845.
  • Schiller–Naumann dá
C_d = \frac{24}{0{,}0845}\left(1+0{,}15\times 0{,}0845^{0{,}687}\right)\approx 292{,}6.
  • Com esse C_d, a fórmula do equilíbrio fornece
v_t = \sqrt{\frac{4 d(\rho_p-\rho_g)g}{3 C_d \rho_g}} \approx 0{,}0624\\ \mathrm{m/s},
ligeramente maior que U. Ajustando um pouco para d\approx 2{,}97\times10^{-5}\\ \mathrm{m} obtém-se v_t\approx 0{,}0619\\ \mathrm{m/s}.
Conclusão da iteração:
d_{cr}\approx 2{,}97\times10^{-5}\\ \mathrm{m} \approx 0{,}0297\\ \mathrm{mm}.
(Comentário: os diâmetros críticos são bem menores que o diâmetro médio; faz sentido físico: apenas partículas muito finas têm velocidade terminal menor que a velocidade superficial e, portanto, são arrancadas pelo gás.)

Passo 9

Usar a distribuição RRB (Rosin–Rammler) para obter a fração em massa com d\le d_{cr}.
  • Fórmula da RRB (explicação): a fração acumulada em massa mais fina que d é
F(d) = 1 - \exp\!\Big[-\Big(\frac{d}{D_{63,2}}\Big)^n\Big],
onde D_{63,2} é o parâmetro característico (aqui dado como 0{,}20\\ \mathrm{mm}) e n é o expoente (aqui 2{,}4).
  • Substituindo d_{cr}=2{,}97\times10^{-5}\\ \mathrm{m} e D_{63,2}=2{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}:
\frac{d_{cr}}{D_{63,2}} = \frac{2{,}97\times10^{-5}}{2{,}0\times10^{-4}} = 0{,}1485\approx 0{,}15.
\Big(\frac{d_{cr}}{D_{63,2}}\Big)^{n} \approx 0{,}15^{2{,}4} \approx 0{,}01057.
Logo
F(d_{cr}) = 1 - \exp\big[-0{,}01057\big] \approx 1 - 0{,}98948 = 0{,}01052.
Ou seja, a fração em massa mais fina que d_{cr} é aproximadamente 1{,}052\%.
  • Massa de finos arrastados:
m_{\text{finos}} = F(d_{cr})\times m_s = 0{,}01052\times 5000\\ \mathrm{kg} \approx 52{,}6\\ \mathrm{kg}.

Resposta

Potência elétrica do soprador requerida \approx 4{,}05\\ \mathrm{kW}
Massa de finos arrastados \approx 52{,}6\\ \mathrm{kg}

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