Questâo 1 ( 3,0 pontos) - Em um determinado mês, a receita de uma empresa foi modelada por uma variâvel aleatória R, cuja função densidade de probabilidade é dada por:
(a) Determinar o valor da constante k
(b) Qual a probabilidade da receita ser maior que 1 unidade?
(c) Qual o valor da receita cuja probabilidade de ser superada é 50 % ?
f(r)=k r, para 0<r<2
f(r)=0, para outros valores

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória
Queremos (a) encontrar a constante de normalização e (c) achar o valor tal que . Vamos usar integração para normalizar e obter probabilidades a partir da densidade.

Passo 2

Para determinar k, impomos a condição de normalização:
integral-infty^inftyf(r),dr =integral0^2k,r,dr =1
Calculando a integral,
integral0^2k,r,dr =k,r^22|0^2 =k,42 =2k
Logo, 2k=1 e
k=12

Passo 3

Agora calculamos Pr(R>1):
Pr(R>1) =integral1^2f(r),dr =integral1^212,r,dr =12;r^22|1^2 =12l(4-12r) =12cdot32 =34

Passo 4

Para achar m tal que Pr(R>m)=0,5, resolvemos
integralm^212,r,dr =0,5
Calculando a integral:
integralm^212,r,dr =12;r^22|m^2 =14,(4-m^2)
e queremos 4-m^24=0,5, ou seja
4-m^2=2 Longrightarrow m^2=2 Longrightarrow m=raiz2

Resposta

(a) k=tfrac12
(b) Pr(R>1)=tfrac34
(c) m=raiz2

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