Questäo 2 ( 3,0 pontos) - Uma empresa de saneamento possui um número elevado de bombas de recalque. O histórico operativo indica que, das bombas de recalque cujos programas de manutençăo estão em dia, 5 % sofrem falhas que levam à inundaçăo. Já para aquelas que năo estâo com os programas de manutenção emdia, o percentual de falhas é 70 %. Sabe-se ainda que 80 % das subestaçőes estăo com os cronogramas de manutenção em dia.
(a) Houve uma falha em uma bomba de recalque que levou à inundação. Qual a probabilidade bomba de recalque estar com o cronograma em dia?
(b) Também houve uma falha em outra bomba de recalque, mas que năo levou a à inundação. Qual a probabilidade da subestaçăo estar com o cronograma em dia?

Passo 1

O enunciado descreve dois tipos de bombas de recalque: aquelas com o cronograma de manutenção em dia e aquelas sem o cronograma em dia. Sabemos que
Pr(inundaçãomid dia)=0,05çã,
Pr(inundaçãomid não dia)=0,70çãã,
Pr(dia)=0,80 e portanto Pr(não dia)=0,20ã.
Para responder às perguntas vamos usar o Teorema de Bayes, que permite inverter probabilidades condicionais.

Passo 2

Queremos a probabilidade de a bomba estar com o cronograma em dia dado que houve inundação, ou seja
Pr(diamid inundação) = Pr(inundaçãomid dia),Pr(dia) Pr(inundaçãomid dia),Pr(dia) +Pr(inundaçãomid não dia),Pr(não dia) çãçãçãçããã
Substituindo os valores:
num = 0,05 times 0,80 = 0,04, den = 0,04 + 0,70 times 0,20 = 0,04 + 0,14 = 0,18
Logo
Pr(diamid inundação) = 0,040,18 = 29 approx 0,2222 (ou 22,22%) çã

Passo 3

Agora queremos a probabilidade de a bomba estar com o cronograma em dia dado que não houve inundação. Note que
Pr(sem inundaçãomid dia)=1-0,05=0,95çã
e
Pr(sem inundaçãomid não dia)=1-0,70=0,30çãã.
Pelo Teorema de Bayes:
Pr(diamid sem inundação) = Pr(sem inundaçãomid dia),Pr(dia) Pr(sem inundaçãomid dia),Pr(dia) +Pr(sem inundaçãomid não dia),Pr(não dia) çãçãçãçããã
Substituindo:
num = 0,95 times 0,80 = 0,76, den = 0,76 + 0,30 times 0,20 = 0,76 + 0,06 = 0,82
Portanto
Pr(diamid sem inundação) = 0,760,82 = 3841 approx 0,9268 (ou 92,68%) çã

Resposta

(a) Pr(diamid inundação) = 29approx22,22%çã.
(b) Pr(diamid sem inundação) = 3841approx92,68%çã.

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