Questão 1. (3,0 pontos). Determine se a afirmação é Verdadeira ou Falsa, justificando sua resposta.
Seja
e
, então
.
Seja
Passo 1
O enunciado nos dá as funções
e
e apresenta a afirmação
O que é pedido: decidir se essa afirmação é Verdadeira ou Falsa e justificar a resposta. Informações relevantes: as expressões explícitas de
e
(que aparecem somadas dentro da derivada) e a forma proposta para a derivada da soma.
Passo 2
Relembrando duas regras básicas de derivação que vamos usar (com explicação curta e intuitiva):
- Regra da soma (linearidade): a derivada da soma é a soma das derivadas. Formalmente,
Intuição: a variação total da soma é a soma das variações individuais; na definição limite isso se separa em duas parcelas.
- Regra da potência (power rule): para
inteiro positivo,
Aqui
é a variável independente e
é o expoente. Essa regra pode ser demonstrada por expansão binomial e limite; abaixo faço isso para
e
para ficar bem concreto.
Passo 3
Derivada de
pelo limite (passo a passo):
Expandindo
obtemos
. Então o numerador fica
. Dividindo por
dá
. Tomando o limite quando
obtemos
Explicação das etapas: expandiu-se o binômio, cancelou-se
, fatorou-se
para poder simplificar e só então passou-se para o limite.
Passo 4
Derivada de
pelo limite (passo a passo):
Expandindo
(fórmula do binômio ou lembrando os coeficientes) obtemos
. O numerador vira
. Dividindo por
obtemos
. Tomando o limite quando
chega-se a
Mesma ideia: expandir, fatorar
, simplificar e então aplicar o limite.
Passo 5
Aplicar a regra da soma: como a derivada é linear, para a expressão
vale
Substituindo os resultados dos passos anteriores obtemos
Passo 6
Comentário didático e dicas para a prova: aplicar a regra da potência termo a termo em polinômios é o caminho mais rápido. Não confundir com multiplicar coeficientes (por ex., não existe regra que diga que a derivada de
é
). Exemplos rápidos:
-
-
Se ficar na dúvida, use o limite para um termo só (como fizemos) para confirmar.
Resposta
Verdadeira