Questão 1. (3,0 pontos). Determine se a afirmação é Verdadeira ou Falsa, justificando sua resposta.
Seja f(x)=x^{2} e g(x)=x^{3}, então \frac{d}{d x}\left(x^{2}+x^{3}\right)=2 x+3 x^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá as funções f(x)=x^{2} e g(x)=x^{3} e apresenta a afirmação
\frac{d}{d x}\bigl(x^{2}+x^{3}\bigr)=2x+3x^{2}.
O que é pedido: decidir se essa afirmação é Verdadeira ou Falsa e justificar a resposta. Informações relevantes: as expressões explícitas de f e g (que aparecem somadas dentro da derivada) e a forma proposta para a derivada da soma.

Passo 2

Relembrando duas regras básicas de derivação que vamos usar (com explicação curta e intuitiva):
  • Regra da soma (linearidade): a derivada da soma é a soma das derivadas. Formalmente,
\frac{d}{dx}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x).
Intuição: a variação total da soma é a soma das variações individuais; na definição limite isso se separa em duas parcelas.
  • Regra da potência (power rule): para n inteiro positivo,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Aqui x é a variável independente e n é o expoente. Essa regra pode ser demonstrada por expansão binomial e limite; abaixo faço isso para n=2 e n=3 para ficar bem concreto.

Passo 3

Derivada de \,x^{2} pelo limite (passo a passo):
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}.
Expandindo (x+h)^{2} obtemos x^{2}+2xh+h^{2}. Então o numerador fica 2xh+h^{2}=h(2x+h). Dividindo por h 2x+h. Tomando o limite quando h\to 0 obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
Explicação das etapas: expandiu-se o binômio, cancelou-se x^{2}, fatorou-se h para poder simplificar e só então passou-se para o limite.

Passo 4

Derivada de \,x^{3} pelo limite (passo a passo):
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}.
Expandindo (x+h)^{3} (fórmula do binômio ou lembrando os coeficientes) obtemos x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}. O numerador vira 3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}=h(3x^{2}+3xh+h^{2}). Dividindo por h obtemos 3x^{2}+3xh+h^{2}. Tomando o limite quando h\to 0 chega-se a
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
Mesma ideia: expandir, fatorar h, simplificar e então aplicar o limite.

Passo 5

Aplicar a regra da soma: como a derivada é linear, para a expressão x^{2}+x^{3} vale
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+x^{3}\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr).
Substituindo os resultados dos passos anteriores obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+x^{3}\bigr)=2x+3x^{2}.

Passo 6

Comentário didático e dicas para a prova: aplicar a regra da potência termo a termo em polinômios é o caminho mais rápido. Não confundir com multiplicar coeficientes (por ex., não existe regra que diga que a derivada de x^{2}+x^{3} é (2+3)x^{\text{algo}}). Exemplos rápidos:
  • \frac{d}{dx}\bigl(x^{4}+5x\bigr)=4x^{3}+5.
  • \frac{d}{dx}\bigl(7x^{3}-2x^{2}\bigr)=21x^{2}-4x.
    Se ficar na dúvida, use o limite para um termo só (como fizemos) para confirmar.

Resposta

Verdadeira

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