Questão 1. (3,0 pontos). Determine se a afirmação é Verdadeira ou Falsa, justificando sua resposta.
Seja
e
, então
.
Seja
Passo 1
O enunciado dá as funções
e
e afirma que
A tarefa é decidir se essa afirmação é Verdadeira ou Falsa e justificar a resposta. As informações relevantes são as expressões de
e
e a fórmula proposta para a derivada do produto
.
Passo 2
Preciso usar a regra do produto para derivadas. Vou explicá-la passo a passo para ficar claro como aplicá-la na prova.
Regra do produto (enunciado): se
e
são funções diferenciáveis, então
O que cada símbolo significa:
-
e são duas funções de . -
e são as derivadas de e em relação a . - O lado direito diz que a derivada do produto é a soma de “derivada da primeira vezes a segunda” e “primeira vezes derivada da segunda”.
Breve ideia de por que a regra vale (esboço com a definição de derivada):
Reescrevendo o numerador como
dividindo por
e tomando limite, obtém-se
pois
quando
. Esse é o argumento padrão; na prova não é preciso decorar a demonstração, mas é bom saber a origem para usar a regra com segurança.
Passo 3
Agora aplico a regra do produto para as funções dadas. Primeiro calculo as derivadas individuais:
- Para
, usa-se a regra da potência: se então . Assim
- Para
, é uma função linear; a derivada de é . Então
Passo 4
Aplicando a regra do produto
, obtemos
Faço a multiplicação e simplificação passo a passo:
Somando:
Como verificação alternativa, poderia primeiro multiplicar
e
:
e derivando termo a termo:
o mesmo resultado.
Passo 5
Comparo o resultado correto com a fórmula dada no enunciado. A derivada correta é
enquanto o enunciado afirmava que era
. Para ver que isso não bate para todos os
, subtraio:
Essa expressão não é identicamente zero, portanto
não é igual a
para todo
. Por exemplo, para
temos
. Observação: as duas expressões coincidem apenas nos pontos
e
, mas a afirmação do enunciado era sobre igualdade em geral, o que é falsa.
Resposta
Falsa