Questão 1. (3,0 pontos). Determine se a afirmação é Verdadeira ou Falsa, justificando sua resposta.
Seja f(x)=x^{2} e g(x)=4 x+2, então \frac{d}{d x}(f(x) \cdot g(x))=8 x.

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=x^{2} e g(x)=4x+2 e afirma que
\frac{d}{dx}\big(f(x)\cdot g(x)\big)=8x.
A tarefa é decidir se essa afirmação é Verdadeira ou Falsa e justificar a resposta. As informações relevantes são as expressões de f e g e a fórmula proposta para a derivada do produto f\cdot g.

Passo 2

Preciso usar a regra do produto para derivadas. Vou explicá-la passo a passo para ficar claro como aplicá-la na prova.
Regra do produto (enunciado): se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
O que cada símbolo significa:
  • u(x) e v(x) são duas funções de x.
  • u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v em relação a x.
  • O lado direito diz que a derivada do produto é a soma de “derivada da primeira vezes a segunda” e “primeira vezes derivada da segunda”.
Breve ideia de por que a regra vale (esboço com a definição de derivada):
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}.
Reescrevendo o numerador como
u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)=\big(u(x+h)-u(x)\big)v(x+h)+u(x)\big(v(x+h)-v(x)\big),
dividindo por h e tomando limite, obtém-se
u'(x)v(x)+u(x)v'(x),
pois v(x+h)\to v(x) quando h\to0. Esse é o argumento padrão; na prova não é preciso decorar a demonstração, mas é bom saber a origem para usar a regra com segurança.

Passo 3

Agora aplico a regra do produto para as funções dadas. Primeiro calculo as derivadas individuais:
  • Para f(x)=x^{2}, usa-se a regra da potência: se h(x)=x^{n} então h'(x)=n x^{n-1}. Assim
f'(x)=2x.
  • Para g(x)=4x+2, é uma função linear; a derivada de ax+b é a. Então
g'(x)=4.

Passo 4

Aplicando a regra do produto \displaystyle \frac{d}{dx}(f\cdot g)=f' g + f g', obtemos
\frac{d}{dx}\big(f(x)g(x)\big)=\big(2x\big)\big(4x+2\big)+\big(x^{2}\big)\big(4\big).
Faço a multiplicação e simplificação passo a passo:
2x(4x+2)=8x^{2}+4x,
x^{2}\cdot4=4x^{2}.
Somando:
8x^{2}+4x+4x^{2}=12x^{2}+4x.
Como verificação alternativa, poderia primeiro multiplicar f e g:
f(x)g(x)=x^{2}(4x+2)=4x^{3}+2x^{2},
e derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}(4x^{3}+2x^{2})=12x^{2}+4x,
o mesmo resultado.

Passo 5

Comparo o resultado correto com a fórmula dada no enunciado. A derivada correta é
\frac{d}{dx}\big(f(x)g(x)\big)=12x^{2}+4x,
enquanto o enunciado afirmava que era 8x. Para ver que isso não bate para todos os x, subtraio:
(12x^{2}+4x)-8x=12x^{2}-4x=4x(3x-1).
Essa expressão não é identicamente zero, portanto 12x^{2}+4x não é igual a 8x para todo x. Por exemplo, para x=1 temos 12\cdot1^{2}+4\cdot1=16\neq8. Observação: as duas expressões coincidem apenas nos pontos x=0 e x=\tfrac{1}{3}, mas a afirmação do enunciado era sobre igualdade em geral, o que é falsa.

Resposta

Falsa

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