Questão 2: (2,5 pontos) Calcule a integral de linha \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde \vec{F}(x, y)=\left(x y^{2}, x^{2} y\right) e C é a curva dada por \gamma(t)=\left(t^{2}, t^{3}\right), 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r
onde \vec F(x,y)=(x y^{2},\,x^{2}y) e C é dada pela parametrização
\gamma(t)=(t^{2},\,t^{3}),\quad 0\le t\le1.
O conteúdo envolvido é integral de linha de campo vetorial via parametrização, usando produto escalar e integração de funções de uma variável.

Passo 2

Usamos a fórmula
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r \;=\;\int_{0}^{1}\vec F\bigl(\gamma(t)\bigr)\;\cdot\;\gamma'(t)\,dt.
Primeiro calculamos a derivada da parametrização:
\gamma'(t)=\bigl(2t,\;3t^{2}\bigr).

Passo 3

Agora compomos \vec F com \gamma(t). Como \gamma(t)=(t^{2},t^{3}), temos
\vec F\bigl(\gamma(t)\bigr) =\bigl(t^{2}\cdot(t^{3})^{2},\;(t^{2})^{2}\cdot t^{3}\bigr) =\bigl(t^{2}\cdot t^{6},\;t^{4}\cdot t^{3}\bigr) =(t^{8},\,t^{7}).

Passo 4

O produto escalar \vec F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) fica
(t^{8},\,t^{7})\cdot(2t,\,3t^{2}) =2t\cdot t^{8}+3t^{2}\cdot t^{7} =2t^{9}+3t^{9} =5t^{9}.

Passo 5

Finalmente, integramos em t de 0 a 1:
\int_{0}^{1}5t^{9}\,dt =5\int_{0}^{1}t^{9}\,dt =5\biggl[\frac{t^{10}}{10}\biggr]_{0}^{1} =\frac{5}{10} =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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