Questão 1 (2 pontos): Determine as curvas de nível (faça um esboço dos gráficos) e a imagem da função f(x, y)=raiz36-4 x^2-9 y^2

Passo 1

O enunciado pede as curvas de nível de f(x,y)=raiz36-4x^2-9y^2 e a imagem (o conjunto de valores que f assume). O conteúdo usado será: (i) definição de curva de nível f(x,y)=c e (ii) análise da condição sob a raiz para encontrar o domínio e a imagem.

Passo 2

Para uma constante c>=0, a curva de nível é dada por
f(x,y)=c
ou seja
raiz36-4x^2-9y^2=c
Elevando ao quadrado,
36-4x^2-9y^2=c^2
e rearranjando,
4x^2+9y^2=36-c^2
Isto descreve, para cada c, uma família de elipses centradas na origem (ou degeneradas).

Passo 3

Para que a raiz seja real, é preciso
36-4x^2-9y^2>=0,
o que define o domínio (x,y)mid4x^2+9y^2<=36. Em consequência, o parâmetro c deve satisfazer
0<= c<=raiz36=6
Quando c=0 temos
4x^2+9y^2=36
que é a fronteira do domínio. Quando 0<c<6 a curva de nível é a elipse não degenerada
x^2l(tfracraiz36-c^22r)^2+y^2l(tfracraiz36-c^23r)^2=1,
e para c=6 a elipse colapsa em um ponto (0,0).

Passo 4

O esboço das curvas de nível é, portanto, um conjunto de elipses concêntricas, todas centradas na origem, que vão da elipse “maior” dada por 4x^2+9y^2=36 (nível c=0) até o ponto (0,0) (nível c=6). À medida que c cresce, as elipses encolhem.

Resposta

Curvas de nível: para cada cin[0,6],
4x^2+9y^2=36-c^2,
que são elipses centradas na origem com semi-eixos tfracraiz36-c^22 e tfracraiz36-c^23.
Imagem de f: [0,6].

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