Questão 1 (2 pontos): Determine as curvas de nível (faça um esboço dos gráficos) e a imagem da função
Passo 1
O enunciado pede as curvas de nível de
e a imagem (o conjunto de valores que
assume). O conteúdo usado será: (i) definição de curva de nível
e (ii) análise da condição sob a raiz para encontrar o domínio e a imagem.
Passo 2
Para uma constante
, a curva de nível é dada por
ou seja
Elevando ao quadrado,
e rearranjando,
Isto descreve, para cada
, uma família de elipses centradas na origem (ou degeneradas).
Passo 3
Para que a raiz seja real, é preciso
o que define o domínio
. Em consequência, o parâmetro
deve satisfazer
Quando
temos
que é a fronteira do domínio. Quando
a curva de nível é a elipse não degenerada
e para
a elipse colapsa em um ponto
.
Passo 4
O esboço das curvas de nível é, portanto, um conjunto de elipses concêntricas, todas centradas na origem, que vão da elipse “maior” dada por
(nível
) até o ponto
(nível
). À medida que
cresce, as elipses encolhem.
Resposta
Curvas de nível: para cada
,
que são elipses centradas na origem com semi-eixos
e
.
Imagem de :
.
Imagem de