Questão A.3: (1.5 pontos) Determine a derivada da função
y=x cdot e^cos (raizx^2+1)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função y = x cdot e^cos(raizx^2+1). O conteúdo principal aqui é derivada de produto e de função composta. Para resolver, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos separar a função em f(x)=x e g(x)=e^cos(raizx^2+1). Pela regra do produto, temos
y'=f'(x),g(x)+f(x),g'(x)
Aqui, f'(x)=1.

Passo 3

Substituindo f'(x) na regra do produto, obtemos
y'=1cdot e^cos(raizx^2+1)+xcdot g'(x)
Agora falta achar g'(x).

Passo 4

Para calcular g'(x), note que g(x)=e^u(x) com u(x)=cos(v(x)) e v(x)=raizx^2+1. Usando a regra da cadeia em duas etapas:
  1. g'(x)=e^u(x)cdot u'(x).
  2. u'(x)=-sin(v(x))cdot v'(x).
  3. v'(x)=xraizx^2+1.
    Combinando, dá
g'(x)=-e^cos(raizx^2+1);sin(raizx^2+1);xraizx^2+1

Passo 5

Voltando à expressão de y', substituímos g'(x) e simplificamos:
y'=e^cos(raizx^2+1)-x;e^cos(raizx^2+1);sin(raizx^2+1);xraizx^2+1
Fatorando e^cos(raizx^2+1), fica
y'=e^cos(raizx^2+1)l(1-x^2raizx^2+1,sin(raizx^2+1)r)

Resposta

y'=e^cos(raizx^2+1)(1-x^2raizx^2+1sin(raizx^2+1))

Exercícios relacionados