Questão B.3: (1.5 pontos) Encontre y^prime prime se x^4+y^4=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a segunda derivada y'' de uma curva definida implicitamente pela equação x^4 + y^4 = 1. O conteúdo aqui é diferenciação implícita, usando regra da cadeia e depois derivação de uma função de x que envolve y. Vamos precisar lembrar de: a derivada de y^4 é 4y^3y' e, ao obter y', usar regra do produto ou potência para achar y''.

Passo 2

Começamos derivando ambos os lados de x^4 + y^4 = 1 em relação a x. Aplicando derivada termo a termo e regra da cadeia em y^4, temos:
4x^3 + 4y^3y' = 0
Isolando y', obtemos
y' = -x^3y^3

Passo 3

Agora precisamos derivar y' = -x^3y^-3 em relação a x. Vamos usar a regra do produto (ou regra da potência composta). Reescrevendo,
y' = -x^3 cdot y^-3
Então
y'' &= -l(3x^2,y^-3 + x^3,(-3)y^-4y'r) &= -3x^2y^-3 +3x^3y^-4y'

Passo 4

Por fim, substituímos y' = -x^3/y^3 na expressão acima e usamos x^4 + y^4 = 1 para simplificar:
y'' &= -3x^2y^-3 +3x^3y^-4l(-x^3y^3r) &= -3x^2y^-3 -3x^6y^-7 &= -3x^2y^-7(y^4 + x^4) &= -3x^2y^7(pois x^4+y^4=1)

Resposta

y'' = -3dfracx^2y^7

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